ডিরাক

___

আধুনিক পদার্থবিজ্ঞানের সৃষ্টিকারীদের মধ্যে অন্যতম প্রধান ব্যক্তিত্ব ছিলেন পল এড্রিয়েন মরিস ডিরাক। আপেক্ষিকতাত্ত্বিক ইলেক্ট্রন সমীকরণ, কণা সংখ্যাতত্ত্ব, কণার স্পিন, চুম্বক একক মেরু তত্ত্ব, স্ট্রিং, কোয়ান্টাম চিত্র, ব্রা-কেট সংকেত চিহ্ন, ডেল্টা ফাংশন - এতগুলি গুরুত্বপূর্ণ ধারণার সাথে এই একটি ব্যক্তি জড়িত ছিলেন ভাবলেও অভিভূত হতে হয়।

এই স্বল্পভাষী লাজুক মানুষটির জন্ম ইংল্যান্ডের বৃস্টল শহরে এবং এখানে বড় হলেও ১৯০২ সালে জন্মের পর থেকে ১৯১৯ পর্যন্ত সুইস বাবার সাথে সেই দেশের নাগরিক ছিলেন (মা বৃটিশ)। বাবা খুব কড়া ছিলেন, বড়ভাই আত্মহত্যা করেছিলেন, পল ডিরাকও অসুখী ছিলেন ছেলেবেলায়।

ডিরাক বৃস্টল বিশ্ববিদ্যালয় থেকে প্রথম ডিগ্রি করেন তড়িৎ-প্রকৌশলে। এরপরে আকর্ষণ চলে যায় ফলিত গণিতে এবং তাতেও বৃস্টলেই ডিগ্রি করেন। তারপরে কেম্ব্রিজে ডক্টরেট। কালক্রমে সেখানে তিনি নিউটনের লুকাসিয়ান অধ্যাপক পদ পান এবং ১৯৬৮ সাল পর্যন্ত তা অলংকৃত করেন। এর পরে ফ্লোরিডা স্টেট বিশ্ববিদ্যালয়ে কাটে শেষ জীবন (মৃত্যু ১৯৮৪)।

নিজে নোবেল পান এবং বিয়ে করেন নোবেল বিজেতা উইগনারের বোনকে।


ওয়েস্টমিন্সটার এবিতে নিউটনের স্মৃতিফলকের কাছেই ডিরাকেরটা, তাঁর সমীকরণসুদ্ধ।


ধাঁধা ও ডিরাকের সমাধান

_____________

এই পোস্টের উদ্দেশ্য ডিরাকের বৃস্টলে ছাত্র জীবনের এক গল্পের কথা বলা। বন্ধুরা ডিরাককে জিজ্ঞেস করলেনঃ পল, এই ধাঁধাটার উত্তর দাও দেখি। তিন জন জেলে কিছু মাছ ধরল এবং তা টুকরিতে রেখে দিল। রাতে উঠে একজনের খিদে পেল। সে দেখল মাছের সংখ্যা তিন দিয়ে ভাগ করা যায় না, তবে একটা ফেলে দিলে হয়। তাই একটা ফেলেই দিল। নিজের ১/৩ ভাগ রেঁধে খেয়ে ফেলল এবং আবার ঘুমিয়ে পড়ল। পরের জন কিছুক্ষণ পরে উঠে দেখে একই ব্যাপার, তিন ভাগ করা যায় না, একটা বেশি । সেটা ফেলে দিয়ে সেও নিজের ভাগ খেয়ে ঘুমিয়ে পড়ল। শেষ জনও শেষ রাতে উঠে একটা ফেলে দিয়ে তিন ভাগ করে নিজের ভাগ খেয়ে ঘুমাতে গেল। সব চেয়ে কম কটা মাছ ধরলে এমন ফেলে দিয়ে ভাগাভাগি সম্ভব ? ডিরাক প্রায় চিন্তা না করেই উত্তর দিয়েছিলেনঃ মাইনাস ২ টা।

পরে ডিরাক যখন তাঁর বিখ্যাত সমীকরণ প্রকাশ করলেন (অনেকের মতে যা মানুষের রচিত সব চেয়ে সুন্দর সমীকরণ), তিনি নিজেই দেখলেন এতে কিছু সমাধানে ইলেক্ট্রনের শক্তি ঋণাত্মক আসে। এগুলিকে তিনি এন্টি-কণা হিসেবে গ্রহণ করেন। পরে আসলেই ইলেক্ট্রনের এন্টি-কণা পজিট্রন পরীক্ষাগারে পাওয়া যায়।

মাইনাস শক্তির কণার ব্যাপারটা ডিরাকের পুরোনো সহপাঠিদের কাছে সেই মাইনাস মাছের গল্প মনে করিয়ে দেয়, ফলে তা প্রচার মাধ্যমে চলে আসে। এই মুখচোরা বিজ্ঞানী আইন্সটাইনের মতো চতুর আত্মবিজ্ঞাপনদাতা ছিলেন না অথবা খ্যাতি বা যশের ভিক্ষুক; নিজে থেকে উদ্ভট গল্প সৃষ্টির মাধ্যমে কখনো জনপ্রিয় হওয়ার চেষ্টা করেন নি।


সাধারণ সমাধান

________

বহুদিন ধরেই আমার ইচ্ছা ছিল ডিরাকের বন্ধুরা আসলে তিন জেলের ধাঁধার কোন স্বাভাবিক সমাধানটি চাইছিলেন, তা বার করা। সম্প্রতি (অ)ভদ্র ছেলে তাঁর জনপ্রিয় "স্ক্রু ড্রাইভার" সিরিজের একটিতে এমনই একটা ধাঁধা দিয়েছিলেন ।

জেলের গল্পটিতে আছে তিন জন, এখানে পাঁচ জন। বাকি সব এক। যিনি সঠিক উত্তর দিয়েছেন তিনি বলেছেন কম্পিউটার প্রোগ্রাম করে বার করেছেন। আমিও ম্যাথেম্যাটিকা ব্যবহার করে ( সি কম্পাইল করার চাইতে দ্রুত, ছোট কাজের জন্য) ওটাই পেয়েছি। কিন্তু একই সাথে মনে হলো, এর কোন সাধারণ সূত্রও থাকা উচিত। এখন সূত্র তৈরি করতে গেলে লাগবে নাম্বার থিওরি, যা কায়কোবাদ সাহেবের কাজ। ভাবলাম দু'একটা কেস দেখে সাধারণীকরন করা যায় কি না দেখা যাক। আধ ঘন্টা মাথা চুলকে পেলাম এক ফর্মুলা। কোন ভিত্তি নেই, স্বপ্নে পাওয়া মনে করতে পারেন। যেমন রামানুজন দাবি করতেন এক দেবীর কাছ থেকে সব ফর্মুলা পান। আমার অন্যভুবনের প্রেরণাদাত্রী অঙ্কে তেমন সবল নন। ভুল হলে আমার দোষ।

সমস্যাঃ n-সংখ্যক মানুষ পালাক্রমে এক এক জন করে m-সংখ্যক জিনিস থেকে শুরু করে, প্রত্যেকে ১ টি ফেলে দিয়ে বাকিটা n-ভাগ করে এক ভাগ নিজে রেখে বাকি (n-1)-ভাগ বন্ধুদের জন্য রেখে দেয় পরবর্তী ভাগাভাগির জন্য। m-এর সর্বনিম্ন মান কত? ধরে নিচ্ছি সবাই একটি পূর্ন জিনিস পাবে, এবং তা ডিরাকের মত মাইনাস নয়।

সমাধান সূত্রঃ সর্বনিম্ন সংখ্যা = n^n - n +1 ( ^ হলো ঘাতের চিহ্ন)

উদাহরণঃ
---------
৩ জেলে ও মাছ ভাগ => 3^3-3+1 = 25
[ a) 25=> 24=> b) 16=>15=> (c) 10=>9=> 6]

৫ দ্বীপবাসী ও নারকেল ভাগ => 5^5 - 5 +1 = 3121
[ a) 3121=>3120=> b)2496=>2495=> c) 1996=>1995=> d) 1596=>1595=> e) 1276=> 1275=> 1020]

উচ্চতর সমাধানঃ
---------------
সর্বনিম্নটি যদি m হয়, তাহলে দেখা যায় m' = p n ^n + m ও সমাধান, যেখানে p একটি পূর্ণ সংখ্যা।
সুতরাং তিন জেলের গল্পে 25, 52, 79, 106, 133, ... [ 3^3 অন্তরে] সবই সমাধান;
পাঁচ দ্বীপবাসীর গল্পে 3121, 6246, 9371, 12496 এই সিরিজে [ 5^5 অন্তরে] সমাধান।

ডিরাকের সমাধান
----------------

ওপরের ফর্মুলাতে p = -1 বসালে ডিরাকের সমাধান -২ চলে আসে ( ২৫-২৭ = -২)।
কিন্তু p মাইনাস ১ এ থামবে কেন ? আসলে নিগেটিভ নিলে নিম্নসীমা নেই। [ -২৯, -৫৬, ...]
ডিরাক অবশ্য তাঁর মজার উত্তর এক নিমিষেই দিয়েছেন, এত ভাবার সময় পান নি।

অত্যন্ত বিরল প্রতিভা!