আগে ত্রিভুজের কোণ নিয়ে এক ধাঁধা দিয়েছিলাম, ইন্টারনেটে একজন যাকে লিখেছেন সব চেয়ে কঠিন জ্যামিতিক ধাঁধা। উত্তর পাই নি। এখন সমাধান লিখতে গিয়ে দেখলাম, অনেক বড় হয়ে যাচ্ছে। তাই নতুন পোস্ট হিসেবেই দিলাম। যে দু 'একজন আগে হয়তো দেখেছিলেন, পরে ভুলে গেছেন, এখন হয়তো আবার একবার নিজে চেষ্টা করে এর চাইতে ভালো সমাধান পেতে পারেন।

_____________________________________________

আজকাল আর আগের মত হুট করে চলে আসে না। মোবাইলে দিনক্ষণ ঠিক করে নেয় দু দিন আগেই। আজ এসে সেই একই চেয়ারে বসল। জানতাম, তাই মুছে রেখেছিলাম। অনেক দূরের পথ, অনেক জ্যামের পথ, হয়তো একটু শ্রান্তিও ছিল। পানি চাইল, একটু খেয়েই রেখে দিল। আসলে আমি খেয়াল করে দেখেছি ও সব সময় কেমন নার্ভাস। কিছু বলতে গেলেই প্রথমে কথা আটকে যায়, তারপর একটু সুস্থির হয়ে বলে; এমনকি মোবাইলেও।

আজকাল ফেবুতে কবিতা লেখা শুরু করেছে। একটু একটু করে পাখি ডানা মেলছে। বেশ মজা লাগে দেখতে। মূল পাঠক ও উৎসাহদাতা স্বামীটি। আমার লোভ হয় কিছু মন্তব্য লিখতে অথবা শুধু পছন্দের কথা জানাতে, কিন্তু কষ্টে আত্মসংবরণ করি। স্বামী খুশী, ও খুশী, সুতরাং আমিও খুশী, কিন্তু তা আমার মনেই থাক।

আমার টেবিলে এক রাশ কাগজ, তাতে এত আঁকিজুকি। বোধ হয় ভয় পেল একটু।
- কি, অনেক কাজ আছে বুঝি?
- না, কাজ আছে, তবে এখন না। আর এই কাগজগুলো কোনো কাজের কাগজ না।

ও একটু মনোযোগ দিল ওপরের পাতাগুলোয়।
- দেখছি সব ত্রিভুজ আর ত্রিভুজ, এতো জ্যামিতি। আমার এসব অংক একদম ভালো লাগে না। তার ওপর আবার কি সব উপপাদ্য আছে মধ্যমা, উপবৃত্ত অন্তর্বৃত্ত নিয়ে। দেখলে জ্বর আসে।

- হা হা! ওই সব জটিল অংক এখন আমিও ভুলে গেছি। আসলে ক্লাস ফাইভ পর্যন্ত শেখা অংকের চাইতে জটিল কিছুই সারা জীবন প্র্যাকটিকাল কোনো কাজে লাগে নি। সব একাডেমিক এক্সেরসাইজ।

'একাডেমিক' শব্দটা শুনে ওর মুখটা একটু বিষণ্ণ হয়ে গেলো। ওর নতুন শ্বশুড়বাড়ির দাবি ও ভালোভাবে পাশ করুক। আমি জানি সেটা হওয়ার নয়। আমার মনটা খুব ভার হয়ে গেল। লঘু করতে চাইলাম।
- আসলে আমি ইন্টারনেটে পাওয়া একটা ধাঁধা ব্লগে দিয়েছিলাম। অনেকদিন হয়ে গেল কেঊ পারে নি, এখন উত্তরটা বার করছি। এটা আসলে কাজ না, একটা খেলা।

- কেউ কেউ কাজ আর খেলা গুলিয়ে ফেলে। যা হোক, উত্তর ইন্টারনেটে নেই? গুগল করলেই সব পাওয়া যায়।

- নাহ, এটার উত্তর বোধ হয় নেই। তবে ভারি বদ ধাঁধা। আগে চেষ্টা করি নি, ভেবেছিলাম এক ঘন্টাতেই হয়ে যাবে। কিন্ত তিন দিন হলো, এখনো বাগে আসে নি। কেমন জানি সব যুক্তি চক্রাকারে ঘুরতে থাকে। যে লোকটা প্রথম ছেড়েছিল, তারও নাকি অনেক দিন লেগেছে। সে বলেছে ইমেইলে চাইলে উত্তর পাঠাবে। প্রশ্নই আসে না।

- অহংকার মানুষের পতনের মূল। বলেই একটু লজ্জা পেল। এ কথা আমাকে এখন শোনানোর অর্থ হয় না।

- তোমার কবিতায় এত দুঃখের কথা থাকে কেন? তোমার তো কোন দুঃখ নেই।
- কবিতা তো যা মনে আসে লিখি, নিজের জীবনের সাথে কি সম্পর্ক?
- হ্যাঁ তা-ও হতে পারে। তবে যারা পড়ে, তারা ভাবতে পারে, স্টেটাসে মনের আসল কথার কিছু প্রতিধ্বনি আছে। একটু সাবধানে লিখো, না হলে কেঊ আবার ভুল বুঝবে।

ও একটু চুপ করে রইলো। তার পর বললঃ
- আজকে মা দিবসে একটা লিখেছি, তাতে কোন দুঃখ নেই।

আমি জানি ও নিজের পরিবারের সাথে এখনো খুব এটাচড। অবশ্য স্বামীকেও পছন্দ করে। কিন্তু শ্বাশুড়ীর সাথে বেশি মিল-মহব্বত নেই, বেশ ভয় পায়। শুধু এই উপমহাদেশে নয়, সারা পৃথিবীতেই এই ছবি। আমি আমার কাগজগুলো সরিয়ে রাখলাম।

- কি ব্যাপার? ত্রিভুজ সলভড?
- এটা সল্ভেবল বলেছে, তাই হতে বাধ্য। হয়ে গেছে শেষ পর্যন্ত। তবে অনেক সমস্যার কোনো সমাধান নেই। সেগুলোর পেছনে সময় নষ্ট না করে বোধ হয় ভুলে যাওয়াই ভালো।

মোবাইলে রিং এলো। উদবিগ্ন স্বামী জানতে চায় ও কোথায়।

- এই তো চলে আসছি। জ্যামে আটকে গেলে সময় লাগে, জানো না?

ও চলে গেলে আমি শেষের দুটি পাতা রেখে কাগজগুলো ডাস্টবিনে ফেলে দিলাম। এর থেকেও সুন্দর সমাধান বোধ হয় সম্ভব ছিল। কিন্তু আমার আর ধৈর্য নেই। বহুকষ্টে ত্রিভুজের বৃত্ত থেকে বেরিয়েছি।

__________________________________________

সমস্যাঃ





সমাধানঃ

ব্রুট ফোর্স পদ্ধতিঃ

এনালিটিক জ্যামিতি ও ম্যাথেমেটিকা ব্যবহার করেঃ

k = Pi/180; (* degrees to radians converter*)
Clear[x1,x2,y1,y2];
eq1=y1= = Tan [80 k] x1; (* line of left side of triangle *)
eq2=y1= =Tan[ 120 k] ( x1-1); (* line of 60 degree from lower right corner *)
sol1=NSolve[{eq1,eq2}, {x1,y1}] ;
(* gives co-ordinates of left point of intersection *)
eq3= y2= = Tan[100 k] (x2-1); (* line of right side of triangle *)
eq4=y2= =Tan[70 k] x2; (* line of 70 degrees coming from lower left corner *)
sol2= NSolve[ {eq3,eq4}, {x2,y2}];
(* gives co-ordinates of right point of intersection *)
xangle = (70-ArcTan [ (y2-y1)/(x2-x1)]/k )/.sol1 /.%
(* 70 minus angle of joining line ( in degrees) is the angle required *)


উত্তরঃ 20

.....................................................................................................

জ্যামিতিক পদ্ধতিঃ



ED প্রবর্ধিত করে ভূমি CBএর বর্ধিতাংশের সাথে M বিন্দুতে ছেদ করাই। MN রেখা এভাবে আঁকি যাতে কোণ NMC = 30 হয়। তাহলে কোণ MNC = 70, কারণ কোণ MCN = 80.
MN রেখা EBকে O বিন্দুতে ছেদ করল। OC যুক্ত করি।

এখনঃ
MNC ও EBC ত্রিভুজদ্বয়ের কোণগুলি সমান সমান, সুতরাং তারা সমরূপ ( similar)।
সুতরাং
MC/EC = MN/EB= NC/BC= a (say)

একইভাবে MOB ও EON ত্রিভুজদুটি সমরূপ বলে
MB/EN= MO/EO = OB/ON = b (say)

MC = MB+ BC, EC = EN + NC ইত্যাদি ব্যবহার করে এই অনুপাতগুলো একটু সরল করলে দেখা যাবে a= b = 1.
এখন MC=EC হওয়ায়
কোণ EMC = কোণ MEC = 1/2 ( 180- 80) = 50
সুতরাং কোণ DEB = 70- 50 = 20 .