দুর্গা ধ্রুবক
প্রথম ধাপঃ তিন অংকের এমন একটি সংখ্যা নিন যার কমপক্ষে একটি অংক ভিন্ন।
যেমনঃ ৫১৯

দ্বিতীয় ধাপঃ এবার এই তিনটি অংক দিয়ে বৃহত্তম থেকে ক্ষুদ্রতম অংকগুলি সাজিয়ে একটি সংখ্যা তৈরি করুন, এবং ক্ষুদ্রতম থেকে বৃহত্তম অংকগুলি সাজিয়ে আর একটি সংখ্যা তৈরি করুন।
যেমনঃ ৯৫১ ও ১৫৯।

তৃতীয় ধাপঃ এবার এই সংখ্যাদুটি মধ্যে বৃহত্তম সংখ্যাটি থেকে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি বিয়োগ করুন।
যেমনঃ ৯৫১-১৫৯ = ৭৯২।

এবার আবার বার বার ২য় ও ৩য় ধাপের কাজগুলো করতে থাকুন। খুব শিগ্রই আপনি ৪৯৫ পেয়ে যাবেন। আর একবার এখানে এলেই দেখবেন আর এগুতে পারছেন না। দেখুন তাহলে.....

৯৭২ - ২৭৯ = ৬৯৩
৯৬৩ - ৩৬৯ = ৫৯৪
৯৫৪ - ৪৫৯ = ৪৯৫।
এবং ৪৯৫ থেকে সেই একই
৯৫৪ - ৪৫৯ = ৪৯৫।
আর এগুনো যাবেনা, মজা তাই না!

আরেকটি উদাহরণ দেখুনঃ ২৫৫
৫৫২ - ২৫৫ = ২৯৭
৯৭২ -২৭৯ = ৬৯৩
৯৬৩ - ৩৬৯ = ৫৯৪
৯৫৪ - ৪৫৯ = ৪৯৫।

এভাবে যে কোনো তিন অংকের সংখ্যাকেই বেছে নিতে পারেন, কিন্তু শেষ পর্যন্ত আপনাকে এসে ঠেকতে হবে ৪৯৫-তে। সর্বচ্চ সাতবার বিয়োগ করলেই আপনি এই দুর্গা ধ্রুবক ৪৯৫-কে পেয়ে যাবেন।
কি ভাবছেন? এতক্ষণ যা বললাম তা পরিচিত মনে হচ্ছে! হে, এই একই কথা আগেও আমি আমার লেখা “আশ্চর্য একটি সংখ্যা ৬১৭৪ ” টপিকে বলেছি। লেখাটিতে আমি Kaprekar's constant ও Kaprekar's operation সম্পর্কে সামান্য আলোচনা করেছিলাম। ভারতীয় গণিতবিদ D. R. Kaprekar ১৯৪৯ সালে এই operation-টি আবিষ্কার করেন। তারই নাম অনুসারে আজ গণিতের জগতে একে Kaprekar's operation বলা হয়। কিন্তু তারও অনেক আগে ১৮৮১ সালের অক্টোবরের ৬ তারিখ ভারতেরই আরেক গণিতবিদ পি.কে. মুখোপাধ্যায় প্রথম এই সত্যের মুখোমুখি হন। তিনিই প্রথম তিন অংকের একটি সংখ্যা নিয়ে উপরের আলোচিত ধাপগুলি করে দেখেন যে ৪৯৫-এর পর আর সামনে এগনো যায় না। তিনি যেদিন এটি আবিষ্কার করেন সেই দিনটি ছিলো শারদীয় দুর্গাউৎসবের অষ্টমী, তাই দেবীর সম্মানে আবিষ্কারক ৪৯৫ সংখ্যাটির এই বৈচিত্রতার জন্য আলাদা করে নাম দেন “দুর্গা ধ্রুবক”। এটাই দুর্গা ধ্রুবকের আবিষ্কারের কাহিনী। এখানে বলে রাখা ভালো শুধু মাত্র ৪৯৫ সংখ্যাটিকেই দুর্গা ধ্রুবক বলা হয়। কিন্তু এই একই বৈশিষ্ট্য সম্পন্ন অন্যাআন্য সংখ্যাকে বলা হয় Kaprekar's constant. কারণ গণিতবিদ D. R. Kaprekar দেখতে পান যে শুধু মাত্র এই ৪৯৫-ই নয় আরো অনেক সংখ্যারই এই একই ধরনে বৈশিষ্ট্য সম্পন্ন, এবং তিনি তা প্রমানও করেছেন। Kaprekar's constant সম্পর্কে আর কিছু এখানে লিখলাম না, করণ আজ আমাদের বিষয় Kaprekar's constant নয় বরং “দুর্গা ধ্রুবক”। যাইহোক Kaprekar's constant সম্পর্কে অন্য আরেক দিন আলোচনা করা যাবে, আজ দেখুন ৪৯৫ সংখ্যাটি যাকে দুর্গা ধ্রুবক বলা হয় তার লীলাখেলা।

একঃ ৪৯৫ তিন অংকের একমাত্র Kaprekar's constant সংখ্যা।

দুইঃ ৪৯৫-এর প্রথম বৈশিষ্ট্যই (৯৫৪-৪৫৯) = ৪৯৫।

তিনঃ দুর্গা ধ্রুবক বের করার সময় প্রতি ক্ষেত্রেই আমরা বৃহত্তম সংখ্যা থেকে ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি বিয়োগ করেছি। এখানে মজার বিষয় হচ্ছে- বিয়োগ করে আমরা যে সংখ্যাটি পাচ্ছি তা অবশ্য- অবশ্যই ৯ দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হবে। আর একটু লক্ষ্য করলে দেখতে পাবেন প্রতিটি ভাগফলই চমৎকার একট নিয়ম মেনে চলছে।
যেমনঃ (১ম উদাহরণ থেকে ) ৭৯২÷৯ = ৮৮, ৬৯৩÷৯ = ৭৭, ৫৯৪ ÷৯ = ৬৬, ৪৯৫ ÷৯ = ৫৫।
(২য় উদাহরণ থেকে ) ২৯৭÷৯ = ৩৩, ৬৯৩÷৯ = ৭৭, ৫৯৪ ÷৯ = ৬৬, ৪৯৫ ÷৯ = ৫৫।

চারঃ ৪৯৫-এর প্রথম ও দ্বিতীয় অংকের বর্গমূলের যোগফল এর তৃতীয় অংকের সমান।
যেমনঃ (√৪+√৯) = ৫।
আবার প্রথম ও শেষ অংকের যোগফল মাঝের অংকের সমান।
যেমনঃ (৪+৫) = ৯।
এই ধরনের বৈশিষ্ট্য সম্পন্ন সংখ্যাকে বলা হয় ডেমলো সংখ্যা।

পাঁচঃ ৪৯৫-এর দ্বিতীয় ও প্রথম অংকের অন্তর হচ্ছে এর তৃতীয় সংখ্যা।
যেমনঃ (৯-৪) = ৫।

ছয়ঃ ৪৯৫ হলো তিন অংকের একমাত্র ডেমলো সংখ্যা যাকে পরপর তিনটি বিজোড় সংখ্যার বা মৌলিক সংখ্যার কিউব এর যোগফল আকারে দেখানো যায়।
যেমনঃ ৪৯৫ = ৩^৩+৫^৩+৭^৩।

সাতঃ ৪৯৫ থেকে এর অংকগুলির বর্গের যোগফল বাদ দিরে পাওয়া যাবে একটি পেনিড্রেমিক মৌলিক সংখ্যা। (যেসমস্ত মৌরিক সংখ্যাকে উল্ট দিক থেকে লিখলেও একই সংখ্যা থাকে তাকে পেনিড্রেমিক মৌলিক সংখ্যা বলে।)
যেমনঃ {৪৯৫ - (৪^২+৯^২+৫^২)} = ৩৭৩।

আটঃ ৪৯৫-এর প্রাইম ফ্যাক্টরগুলি (Prime Factors) ৩×৩×৫×১১ = ৪৯৫। চাইলে একে এভাবেও লিখা সম্ভব- ৩^২ ×৫×১১ = ৪৯৫।

নয়ঃ ৪৯৫-এর সাথে ২ এর একটি চমৎকার সম্পর্ক রয়েছে। দেখুন-
(৪৯৫+২) + ২ = ৪৯৯
(৪৯৫+২) × ২ = ৯৯৪
দ্বিতীয় সংখ্যাটি প্রথম সংখ্যাটির ঠিক উল্টো। আবার দ্বিতীয় সংখ্যা থেকে প্রথম সংখ্যাটি বিয়োগ কের দেখুন- (৯৯৪-৪৯৯) = ৪৯৫ আমাদের দুর্গা ধ্রুবকই ?ফিরে এসেছে।

দশঃ ৪৯৫-এর সংখ্যা রঙ্গ-১
৪৯৫×৯৯ = ৪৯০০৫
৪৯৫×৯৮৯৯ = ৪৯০০০০৫
৪৯৫×৯৮৯৮৯৯ = ৪৯০০০০০০৫
৪৯৫×৯৮৯৮৯৮৯৯ = ৪৯০০০০০০০০৫
৪৯৫×৯৮৯৮৯৮৯৮৯৯ = ৪৯০০০০০০০০০০৫
চলিতেই থাকিবে.........

এগারঃ ৪৯৫-এর সংখ্যা রঙ্গ-২
৪৯৫×৮১ = ৪০০৯৫
৪৯৫×৮০৮১ = ৪০০০০৯৫
৪৯৫×৮০৮০৮১ = ৪০০০০০০৯৫
৪৯৫×৮০৮০৮০৮১ = ৪০০০০০০০০৯৫
৪৯৫×৮০৮০৮০৮০৮১ = ৪০০০০০০০০০০৯৫
চলিতেই থাকিবে.........

বারঃ এই Pascal’s Triangle-টি দেখেন।
প্যাসকেল ত্রিভুজ সংখ্যা

Pascal’s Triangle-এর দুই স্থানে আমরা দুর্গা ধ্রুবক ৪৯৫কে দেখতে পাচ্ছি। Pascal’s Triangle-এর পঞ্চম ও নবম পর্যায়ে দুর্গা ধ্রুবক ৪৯৫ অবস্থান করছে। অর্থাৎ Pascal’s Triangle-এর চতুর্থ সিরিজটির (কলাম) প্রথম নয়টি সংখ্যার যোগফল হবে দুর্গা ধ্রুবক ৪৯৫।
যেমনঃ ১+৪+১০+২০+৩৫+৫৬+৪৮+১২০+১৬০ = ৪৯৫।
আবার Pascal’s Triangle-এর অষ্টম সিরিজটির (কলাম) প্রথম পাঁচটি সংখ্যার যোগফল হবে দুর্গা ধ্রুবক ৪৯৫।
যেমনঃ ১+৮+৩৬+১২০+৩৩০ = ৪৯৫।

আজকের মত এখানেই শেষ করছি। সমস্ত প্রকার ভুলগুলি ক্ষমাসুন্দর দৃষ্টিতে দেখার অনুরোধ রইলো, আর ভালো থাকবেন সকলে।
সূত্রঃ প্রথম আলো পত্রিকা ২৭/১০/২০০২ইং।