অনুগ্রহ করে অপেক্ষা করুন। ছবি আটো ইন্সার্ট হবে।
পর্বঃ২.১ সবার জইন্য দ্রুত গণিত শিখনের পাঠশালা!!!
(গুণন)
গত পর্বে আমরা দেখেছিলাম কিভাবে রেফারেন্স ব্যাবহার করে গুন করতে হয়, আজ আমরা রেফারেন্সের আরো বিস্তারিত প্রয়োগ আলোচনা করব।
আসুন তবে শুরু করা যাক।
সংখ্যা যখন রেফারেন্স থেকে বড়ঃ
১৩ * ১৫ =? আমরা যদি ১০ কে রেফারেন্স হিসেবে ব্যবহার করি তাহলে খেয়াল করুন, ১৩ ও ১৫ রেফারেন্স ১০ থেকে বড়।
আগের পদ্ধতির পরিপ্রেক্ষিতেই খেয়াল করুনঃ
.................(+৩).(+৫)
[১০].............১৩ * ১৫
যেহেতু ১৩-১০= +৩ এবং ১৫-১০=+৫ তাই আমরা ৩ ও ৫ কে আমরা ১৩ ও ১৫ এর উপরে লিখেছি।
এখন, কোনাকুনি ভাবে, যোগ করুন ১৩+৫ = ১৮ = ১৫+৩
.................(+৩).(+৫)
[১০].............১৩ * ১৫ =১৮...>> ১৮*১০=১৮০ (রেফারেন্স ১০ এর সাথে গুন)
এখন সরাসরি গুন, (+৩)*(+৫)=+১৫ এটি ১৮০ এর সাথে যোগ করুন ১৮০+১৫ =১৯৫ উত্তর।
আসুন আরেকটা দেখি-
১১৫ * ১২০ =?
.........................(+১৫)..(+২০)
[১০০]...................১১৫ * ১২০
কোনাকুনি, (১১৫+২০)=১৩৫=(১২০+১৫)
খেয়াল করুন সংখ্যা যদি রেফারেন্স থেকে বড় হয়, তাহলে কোনাকুনি যোগ করতে হবে, যদি ছোট হয় তাহলে কোনাকুনি বিয়োগ করতে হবে।
........................(+১৫)..(+২০)
[১০০]...................১১৫ * ১২০ =১৩৫... >> ১৩৫*১০০=১৩৫০০
এবার,
.....................(+৫).(+১০)
[১০].................১৫ *২০
স্টেপস>> কোনাকুনি, ১৫+১০ = ২৫ >> ২৫*১০=২৫০>>৫*১০=৫০>>২৫০+৫০=৩০০।
আপনি এভাবে যেকোন সংখ্যা করতে পারেন, কিন্তু ১৫*২০ এর ক্ষেত্রে ১৫*২=৩০ >>৩০*১০=৩০০ (একটি শুন্য যোগ করে দিন)।
এবার এই ৩০০ যোগ করুন ১৩৫০০ এর সাথে, ১৩৫০০+৩০০ = ১৩৮০০ আপনার উত্তর।
এবার,
.....................(+৫).(+১০)
[১০].................১৫ *২০
স্টেপস, কোনাকুনি, ১৫+১০ = ২৫ >> ২৫*১০=২৫০>>৫*১০=৫০>>২৫০+৫০=৩০০।
আপনি এভাবে যেকোন সংখ্যা করতে পারেন, কিন্তু ১৫*২০ এর ক্ষেত্রে ১৫*২=৩০ >>৩০*১০=৩০০ (একটি শুন্য যোগ করে দিন)।
এবার এই ৩০০ যোগ করুন ১৩৫০০ এর সাথে, ১৩৫০০+৩০০ = ১৩৮০০ আপনার উত্তর।
অনুশীলনঃ ১৭* ২১= ? ১১৪*১২৫=? ১৪*১৭=? ১১৩*১১৭=?
সংখ্যা যখন রেফারেন্সের উপরে ও নিচেঃ
১২ * ৯ = ?
..............(+২)
[১০]..........১২ * ৯
......................(-১)
এখানে খেয়াল করুন, রেফারেন্স ১০ থেকে ১২ বড় আবার ৯ ছোট, এখন ১২-১০ = +২ তাই ২ উপরে, এবং ১০-৯ = -১ নিচে যাবে।
এখন, কোনাকুনি, ভাবে হয় আমরা , ১২ থেকে ১ বিয়োগ দিব, অথবা, ৯ এর সাথে ২ যোগ করব তাতে উভয়ক্ষেত্রে উত্তর একই পাওয়া যাবে।
আসুন দেখি, (১২-১)=১১=(৯+২)
১২ * ৯ = ?
..............(+২)
[১০]..........১২ * ৯ = ১১ >> ১১*১০ = ১১০
......................(-১)
গুন করুন, (+২) * (-১) =-২
১১০ থেকে ২ বিয়োগ করুন, ১১০-২=১০৮ উত্তর।
স্পিড স্টেপস, ১২*৯ >> ১২-১=১১ >> ১১০ >> ২*(-১)=-২ >> ১০৮।
এখানে খেয়াল করুন,
+ + = +
- - = +
+ - = -
অর্থাৎ আপনার সংখ্যা যদি শুধু উপরে বা শুধু নিচে থাকে তাহলে যোগ করতে হবে। আর যদি উপরে এবং নিচে থাকে তাহলে বিয়োগ করতে হবে।
১১২ * ৯৫ = ?
........................(+১২)
[১০০]...................১১২ * ৯৫
...................................(-৫)
কোনাকুনি, (১১২-৫) = ১০৭ = (৯৫+১২)
১১২ * ৯৫ = ?
........................(+১২)
[১০০]...................১১২ * ৯৫ = ১০৭>>১০৭*১০০=১০৭০০
...................................(-৫)
গুন করুন, ১২ *(-৫) =-৬০
১০৭০০-৬০ এই বিয়োগ প্রক্রিয়াটি আসুন একটু সহজ করি।
বিয়োগ সংক্ষিপ্ত আলোচনাঃ
কম্প্লিমেন্টঃ ১০০ -৪৬ = ৫৪ এখানে ৫৪ হলো ১০০ এর পরিপ্রেক্ষিতে ৪৬ এর কম্প্লিমেন্ট। অর্থাৎ ৪৬ কে ১০০ পূরনে ৫৪ প্রয়োজন।
আসুন দেখি এই কম্প্লিমেন্ট কিভাবে সহজে নির্নয় করা যায়।
১০০-৪৬ এখন ৪৬ এর দশক সংখ্যা হলো ৪, ৪ এর সাথে কত যোগ করলে ৯ হয়? ৫, একক সংখ্যা ৬, কত যোগ করলে ১০ হয়?,৪। পেয়ে গেলাম , ৫৪।
অর্থাৎ কোন সংখ্যার ১০০ এর পরিপ্রেক্ষিতে কমপ্লিমেন্ট নির্ণয় করতে তার দশক সংখ্যার সাথে কত যোগ করলে ৯ হয়, এবং দশক সংখ্যার সাথে কত যোগ করলে ১০ হয় তা নির্নয় করলেই পেয়ে যাবেন।
৬০ এর কম্প্লিমেন্ট কত? ৬ এর সাথে ৩ যোগ করলে ৯ হয়, এবং ৬০ এর একক ০ এর সাথে ১০ যোগ করে ১০ হয়, এই ১০ এর ১কে ৩ এর সাথে যোগ করে দিন, পেলাম ৪০। ৪০ ই ৬০ এর কম্প্লিমেন্ট।
আমরা এখানে কম্প্লিমেন্ট বলতে ১০০ পরিপ্রেক্ষিতে কত কম বুঝব।
কম্প্লিমেন্ট বের করার প্রক্রিয়া অনেকটা এরকম, ধরুন আপনি ১০০০এর পরিপ্রেক্ষিতে ৪ এর কম্প্লিমেন্ট বের করবেন, সেক্ষেত্রে একক হলো ৪,
১০০০
০০০৪
-------
০৯৯৬
খেয়াল করুন আমরা শতকের ঘর থেকে শুরু করেছি, ০ আছে কত হলে ৯?, ৯ এবং শেষে এসে একক ৪ কত হলে ১০?,৬ পেয়ে গেলাম ৯৯৬।
নিচের সংখ্যার কম্প্লিমেন্ট বের করুনঃ
১০০-৫৪ =? ১০০- ৪৫=? ১০০-৪৭=? ১০০-৭৮=? ১০০০-৮৯?
এখন,
১২০০ - ৩৭ এখন, ৩৭ এর কম্প্লিমেন্ট ৬৩, ১২০০ থেকে ১০০ বিয়োগ করে ৬৩ যোগ করুন, ১১৬৩।
১৮৩৬-১৫৪, এখানে স্টেপস, ১৮৩৬-১০০=১৭৩৬-৫৪>>৫৪এর কম্প্লিমেন্ট ৪৬,>>১৭৩৬থেকে ১০০ বিয়োগ করলে থাকে ১৬৩৬+৪৬>>১৬৩৬+৪০+৬>>১৬৭৬+৬>>১৬৮২।
মনে করুন, আপনি, ৮০-৩৭ করবেন সেক্ষেত্রে, প্রথমে ৮০-৪০=৪০, যেহেতু, ৩ কম নিয়েছেন এবার ৩ যোগ করুন, ৪০+৩=৪৩।
এভাবে ধাপে ধাপে এগুলে আপনার উত্তরটি নির্ভূল ও দ্রুত হবে।
অনুশীলনঃ
১৯*৭ =? ১১৫*৯৭ =? ১৩০*৮৮ =? ৩১* ৯=? ১২৪*৯৩=?
যেকোন রেফারেন্স ব্যাবহার করে গুণঃ
রেফারেন্স ২০
২৪ * ১৬ = ?
........................(+৪)
[২০]...................২৪ * ১৬
................................(-৪)
এখন কোনাকুনি, ২৪-৪=২০>> ২০*২=৪০>>৪০০
এখন, (+৪)*(-৪) = -১৬
৪০০-১৬>>৪০০-১০-৬>>৩৯০-৬>>৩৮৪।উত্তর।
কম্প্লিমেন্ট ব্যাবহার করে বিয়োগটি আবার করি, ১৬ এর কম্প্লিমেন্ট ৮৪
৪০০-১০০>>৩০০>>৩০০+৮৪>>৩৮৪।
কম্প্লিমেন্ট ব্যাবহারে আরো সহজ ও নির্ভূল হয়।
রেফারেন্স ৫০
গত পর্বে চানাচুর একটি সমস্যা লিখেছিলেন, প্রাসঙ্গিকতার খাতিরে আলোচনা করা হলো।
৬২ * ৬৭ =?
..................(+১২).(+১৭)
[৫০]................৬২ * ৬৭
স্টেপস, ৬২+১৭=৬২+১০+৭>>৭৯
এবার ৭৯ কে ৫০ দিয়ে গুন করার জটিলতা এড়াতে আমরা ১০০ দিয়ে গুন করে ২ দিয়ে ভাগ করে দিব। ১০০ দিয়ে গুন করার জন্য ৭৯ এর পরে দুটি ০০ যোগ করুন।
৭৯*১০০=৭৯০০ >> ৭৯০০/২>>(৭০০০+৯০০)/২>>৩৫০০+৪৫০>> ৩৯৫০
এবার, ১২ * ১৭ রেফারেন্স ১০ দিয়ে গুন করে পাই, ২০৪, নিচে কেবল স্টেপস দেয়া হলো,
১২*১৭>>১২+৭=১৯>>১৯০>>৭*২=১৪>>১৯০+১৪>>২০৪।
এই ২০৪ কে ৩৯৫০ এর সাথে যোগ করুন,
৩৯৫০+২০৪ >> ৩৯৫০+২০০>>৪১৫০+৪>>৪১৫৪ উত্তর।
৬২*৬৭ = ৪১৫৪।
আপনি, এভাবে ২০০, ৫০০, ১০০০ কে রেফারেন্স হিসেবে ব্যাবহার করতে পারেন।
২০০ কে রেফারেন্স হিসেবে ব্যাবহারের জন্য প্রথমে ২ দিয়ে গুন করে দুটি ০০ যোগ করুন
৫০০ কে রেফারেন্স হিসেবে ব্যাবহারের জন্য ১০০০ দিয়ে গুন করে ২ দিয়ে ভাগ করে দিন।
১০০০ কে রেফারেন্স হিসেবে ব্যাবহারের জন্য কেবল তিনটি শুন্য ০০০ যোগ করে দিন।
২১২ * ২২৫ = ?
......................(+১২).(+২৫)
[২০০]................২১২ * ২২৫
২১২+২৫ = ২৩৭ >> ২৩৭ * ২ =৪৭৪>>৪৭৪০০>>১২*২৫ = ৩০০ >> ৪৭৪০০+৩০০ >>৪৭৭০০ উত্তর।
৫১৫ * ৫২৬ = ?
......................(+১৫).(+২৬)
[৫০০]................৫১৫ * ৫২৬
৫১৫+২৬ = ৫৪১ >> ৫৪১০০০ (১০০০ দিয়ে গুন)
দুই দিয়ে ভাগ করার জন্য, প্রথমে লক্ষ্য করুন শুন্য গুলো বাদ দিয়ে সংখ্যাটি জোড় কিনা, ৫৪১ জোড় না, তাহলে একটি ০ নিন ৫৪১০ এবার (৫০০০+৪০০+১০)/২ >> ২৫০০+২০০+৫>>২৭০৫ বাকী দুটি শুন্য যোগ করে দিন, ২৭০৫০০।
এবার , ১৫*২৬ = ৩৯০ (২০ রেফারেন্স নিয়ে) , যেহেতু +১৫ ও +২৫ দুটিই + তাই, ২৭০৫০০+৩৯০ = ২৭০৮৯০ উত্তর।
৯৯৮ * ১০০২ = ?
...................................(+২)
[১০০০].................৯৯৮ * ১০০২
...........................(-২)
স্টেপস, ৯৯৮+২=১০০০>>১০০০০০০>>২*(-২)=-৪>>১০০০০০০-৪>> ৯৯৯৯৯৬ (৪ এর কম্প্লিমেন্ট ) উত্তর।
সঠিকতা নির্ণয়ঃ
আপনি যে উত্তরটি ক্যালকুটের ছাড়া নির্ণয় করছেন তা কতটুকু সঠিক সেটা ক্যালকুলেটর ছাড়া কিভাবে নির্ণয় করবেন?
আসুন দেখি..
৬৪ * ৫২ = ৩৩২৮
এখন আপনি এই ৩৩২৮ যে সঠিক উত্তর কিনা তা নিরুপন করবেন কেমন করে?
৬৪ >>৬+৪=১০>>১+০=১ অর্থাৎ যতক্ষন না একটি অঙ্কে পরিনত হয় ততক্ষন সংখ্যা গুলোকে প্রতিটি অঙ্কে যোগ করতে থাকুন।আমরা যেটা করছি তাহলো সঠিকতা যাচাইয়ের জন্য সংখ্যার একটি বিকল্প সংখ্যা বের করছি। অর্থাৎ ৬৪ এর বিকল্প হিসেবে পেয়েছি ১।
আবার, ৫২>>৫+২=৭ , ৫২ এর বিকল্প হলো ৭।
আমরা ৬৪ এবং ৫২ কে ভেঙ্গে পেলাম যথাক্রমে ১ ও ৭ ।
এখন, ৬৪ * ৫২ এর পরিবর্তে লিখলাম ১*৭ = ৭
অর্থাৎ আমাদের সঠিক উত্তরের অঙ্কগুলোকে যোগ করলে আমরা ৭ পাব।
৩৩২৮ কে সঠিক হতে হলে এর বিকল্প উত্তর ৭ হতে হবে।
৩৩২৮ >> ৩+৩+২+৮=১৬>>১+৬=৭
সুতরাং আমাদের উত্তর সঠিক।
এবার ধরুন আপনার সংখ্যা অনেক বড় তাহলে আপনার জন্য একটি সর্টকাট রয়েছে। সেটা হলো ৯ কে বের করে দেয়া।
৮৯ * ৯৫ = ৮৪৫৫
এখানে , দেখুন ৮৯ এ ৯ রয়েছে, বিকল্প সংখ্যা নির্নয়ের ক্ষেত্রে আমরা ৯ দেখলেই কিক আউট করব মানে বের করে দেব।
তাহলে ৮৯ এর বিকল্প হবে ৮
একই ভাবে, ৯৫ এর বিকল্প হবে ৫
৮৯*৯৫ কে বিকল্প যথাক্রমে বিকল্প সংখ্যা দিয়ে লিখলে দাড়ায় ৮*৫
৮*৫ = ৪০>>৪+০=৪, সুতরাং সঠিক উত্তরের বিকল্প সংখ্যা হবে ৪।
৮৪৫৫ এখানে লক্ষ্য করুন, ৫+৪ = ৯ , অর্থাৎ কোন সংখ্যার ভিতরের কোন একাধিক অংকের যোগফল যদি ৯ হয় তারাও কিক আউট হবে।
সঠিকতা নির্ণয়ের জন্য আপনার কাজ হলো ৯ পেলেই কিক মারা।
তাহলে, ৮৪৫৫ এর ৪,৫ বাদ গিয়ে থাকল, ৮৫>>৮+৫=১৩>>১+৩=৪, পেয়ে গেলাম বিকল্প উত্তর ৪ যা সঠিক।
নিচের গুনের সঠিকতা নির্নয় করুন-
১৫৪৬৫৪৫১৭ * ৬৫৭৮৩৯ = ১০১৭৩৭৭৭২৮০৮৭৬৩
মনে রাখবেন, ৯ পেলেই কিক, এবং একটি সংখ্যার অন্তর্গত একাধিক অংকের যোগফল ৯ হলেই তারা কিক খাবে, এভাবে সংখ্যাকে ছোট করে নিয়ে এসে, উত্তর যাচাই করবেন।
গত পর্বে ৯৯৯*৯৯ এর উত্তর জানতে চেয়েছিলেন খলিল মাহ্মুদ, আমি আপাতত ১০০০ কে রেফারেন্স হিসেবে ব্যাবহার করে দেখালাম,
[১০০০]................৯৯৯ * ৯৯
..........................(-১)...(-৯০১) (কম্প্লিমেন্ট)
স্টেপস, ৯৯-১ = ৯৮ >>৯৮০০০>>৯০১*১=৯০১>>৯৮৯০১ উত্তর।
সঠিকতা নির্ণয় :
৯৯৯*৯৯=৯৮৯০১
৯৯৯ এবং ৯৯ এর সব কটি ৯ কিক আউট হয়ে হলো যথাক্রমে ০ এবং ০
০ * ০ = ০ হলেই উত্তর সঠিক
৯৮৯০১ এর ক্ষেত্রে ৯ এবং ৮,১ কিক খেলে বাকী থাকে ০ সুতরাং প্রাপ্ত উত্তর সঠিক
।
এই পর্বে রেফারেন্সের ইতি টানার ইচ্ছা থাকা সত্ত্বেও, পোষ্টটি কে আর বড় না করে পরের পর্বে রেফারেন্সের ইতি টানব।
আমরা পরের পর্বে দেখব, কিভাবে একাধিক রেফারেন্স ব্যাবহারে গুনফল নির্ণয় করা যায়।
সর্বশেষ এডিট : ০১ লা এপ্রিল, ২০১০ রাত ১১:০৩
