চলুন শুরু করি কেপলারের তৃতীয় সূত্র থেকে:

T² ∝ r³

এখানে,

T = গ্রহের আবর্তনকাল (সময়),

r = গ্রহ এবং সূর্যের গড় দূরত্ব।

গাণিতিকভাবে, আমরা এটি লিখতে পারি:

T² = k * r³

এখানে,

k = একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক।

এখন, নিউটনের মহাকর্ষ সূত্রের দিকে যাই। গ্রহ এবং সূর্যের মধ্যে মহাকর্ষীয় বলের পরিমাণ:

F = G * (M * m) / r²

এখানে,

F = মহাকর্ষীয় বল,

G = মহাকর্ষ ধ্রুবক,

M = সূর্যের ভর,

m = গ্রহের ভর,

r = গ্রহ এবং সূর্যের মধ্যবর্তী দূরত্ব।

এই বল গ্রহের কেন্দ্রমুখী বলের সমান, যা গ্রহকে কক্ষপথে আবর্তিত রাখতে সাহায্য করে। কেন্দ্রমুখী বলের জন্য:

F = m * v² / r

এখন, মহাকর্ষীয় বল এবং কেন্দ্রমুখী বলের সমতা থাকায় আমরা লিখতে পারি:

G * (M * m) / r² = m * v² / r

m এর মাধ্যমে উভয় পাশকে ভাগ করলে পাই:

G * M / r² = v² / r

এখন, r দিয়ে উভয় পাশকে গুণ করলে পাই:

v² = G * M / r

এটি গ্রহের বেগের (v) একটি গুরুত্বপূর্ণ প্রকাশ।

এখন, গ্রহের কক্ষপথের পরিধি L = 2πr এবং আবর্তন সময় T এর সাথে সম্পর্কিত গড় বেগ v:

v = L / T

অথবা,

v = 2πr / T

v² এর মান বের করতে:

v² = (2πr / T)²

v² = 4π²r² / T²

এখন আমরা v² এর দুটি মানকে সমান করি:

G * M / r = 4π²r² / T²

এখন, উভয় পাশকে r দিয়ে গুণ করি:

G * M = 4π²r³ / T²

অথবা,

T² = (4π² / G * M) * r³

এটি কেপলারের তৃতীয় সূত্রের গাণিতিক প্রকাশের (T² ∝ r³) সঙ্গে সম্পূর্ণভাবে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

এখানে আমরা দেখতে পাচ্ছি যে সমানুপাতিক ধ্রুবকটি হল:

k = 4π² / (G * M)

এই ধ্রুবকটি দেখায় যে এটি মহাকর্ষ ধ্রুবক G এবং সূর্যের ভর M এর উপর নির্ভর করে।

এখন চলুন এই প্রমাণকে আরও গভীরভাবে বিশ্লেষণ করি। ধরা যাক একটি গ্রহ একটি বৃত্তাকার কক্ষপথে আবর্তিত হচ্ছে। নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র থেকে সূর্যের ভর নির্ণয় করার সমীকরণ:

M = 4π²r³ / (G * T²)

এটি সূর্যের ভরের উপর গ্রহের কক্ষপথের আকার এবং আবর্তন সময়ের নির্ভরতা নির্ধারণ করে।

এইভাবে, কেপলারের তৃতীয় সূত্র থেকে নিউটনের মহাকর্ষ সূত্রের একটি সুনির্দিষ্ট গাণিতিক সংযোগ স্থাপন করা যায়।

প্রমাণের সারাংশ

১. কেপলারের সূত্র থেকে T² ∝ r³ সম্পর্কটি প্রাপ্ত হয়।

২. নিউটনের মহাকর্ষ এবং কেন্দ্রমুখী বলের সমীকরণ ব্যবহার করে v² = G * M / r পাওয়া যায়।

৩. v = 2πr / T ব্যবহার করে v² এবং T এর সম্পর্ক নির্ণয় করা হয়।

৪. অবশেষে, T² = (4π² / G * M) * r³ সমীকরণটি কেপলারের তৃতীয় সূত্রের সঙ্গে সম্পূর্ণ সামঞ্জস্যপূর্ণ বলে প্রমাণিত হয়।