ছবিঃ ইন্টারনেট


আলোর গতিতে মহাবিশ্ব ঘুরে দেখতে চাইছেন, তাহলে প্রশ্নটি শুধুমাত্র সময়ের ব্যাপার নয়, বরং জড়িয়ে আছে মহাবিশ্বের গঠন, প্রসারণ, বক্রতা ও আপেক্ষিকতার জটিল পরিভাষায়। কারণ মহাবিশ্ব একটি স্থির বলয়ের মতো কিছু নয়, যেটি আপনি রেলগাড়ির মতো ঘুরে দেখতে পারেন; এটি একটি চার-মাত্রিক স্পেসটাইম, যেখানে স্থান ও সময় একে অপরের সঙ্গে জটিলভাবে জড়িত। সেই কারণে এই প্রশ্নের উত্তর খুঁজতে হলে আপনাকে প্রথমে বুঝতে হবে মহাবিশ্বের জ্যামিতি এবং আপেক্ষিকতা কীভাবে কাজ করে।

প্রথমে আমরা মহাবিশ্বকে একটি ফ্ল্যাট (k = 0), সমভাবে বিস্তৃত এবং সমভাবে ঘনত্বযুক্ত কসমোলজিকাল মডেল হিসেবে ধরব, যার বর্ণনা পাওয়া যায় Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) ম্যাট্রিক্স থেকে। এই ম্যাট্রিক্সটি হল:

ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 [dr^2 / (1 - k r^2) + r^2 (dθ^2 + sin^2θ dφ^2)]

এখানে ds হচ্ছে স্পেসটাইমের ইন্টারভ্যাল, c আলোর গতি, t সময়, r রেডিয়াল কোঅর্ডিনেট, θ ও φ কৌণিক কোঅর্ডিনেট, এবং a(t) হচ্ছে স্কেল ফ্যাক্টর যা সময়ের সঙ্গে মহাবিশ্বের প্রসারণ বোঝায়।

k = 0 হলে মহাবিশ্ব ফ্ল্যাট, k = +1 হলে এটি গোলাকার এবং k = -1 হলে এটি খোলা বা হাইপারবোলিক।

আমরা ধরে নেব আমাদের মহাবিশ্ব ফ্ল্যাট (k = 0), কারণ বর্তমান পর্যবেক্ষণ তা-ই ইঙ্গিত করে। তাহলে ম্যাট্রিক্সটি সরল হয়ে দাঁড়ায়:

ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 [dr^2 + r^2 (dθ^2 + sin^2θ dφ^2)]

এখন প্রশ্ন হল, আপনি যদি আলোর গতিতে চলেন, তাহলে আপনার জন্য ds^2 = 0 হবে, কারণ আলোকরশ্মির জন্য স্পেসটাইম ইন্টারভ্যাল সবসময় শূন্য। তাহলে:

0 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 dr^2
=> dr/dt = c / a(t)

এই সমীকরণটি বলে দেয় যে আলোকরশ্মি মহাবিশ্বে কত দ্রুত চলতে পারে, এবং এটি স্কেল ফ্যাক্টরের ওপর নির্ভরশীল।

কিন্তু আপনার প্রশ্ন ছিল, আপনি আলোর গতিতে পুরো মহাবিশ্ব ঘুরে দেখতে চাইলে কত সময় লাগবে। তার মানে আপনাকে মহাবিশ্বের কসমোলজিকাল হরাইজন বা দেখা-যাওয়ার সীমানা পর্যন্ত যেতে হবে।

মহাবিশ্বের অবজারভেবল রেডিয়াস R_H সংজ্ঞায়িত করা যায় এইভাবে:

R_H = ∫ from 0 to t of [c / a(t'] dt'

এই সমীকরণটি বলে দেয়, মহাবিশ্বের বয়স t পর্যন্ত আলো কতদূর পৌঁছাতে পেরেছে, এই সময় পর্যন্ত স্কেল ফ্যাক্টরের বিপরীত অনুপাতে আলো চলেছে।

ধরা যাক মহাবিশ্বের বর্তমান বয়স T ≈ 13.8 × 10^9 বছর। আমরা যদি ধরি:

a(t) = (t / T)^{2/3}

অর্থাৎ matter-dominated universe, তাহলে:

R_H = ∫ from 0 to T of [c / (t/T)^{2/3}] dt
= c × ∫ from 0 to T of (T / t)^{2/3} dt
= c × T^{2/3} × ∫ from 0 to T of t^{-2/3} dt

এই ইন্টিগ্রালটি t = 0-এ একটি singularity তৈরি করে, কারণ t^{-2/3} অনন্তের দিকে ধাবিত হয়। বাস্তব কসমোলজিতে t = 0 সময়টি Big Bang singularity, যেখানে আমাদের মডেল প্রযোজ্য নয়। তাই ইন্টিগ্রেশনের lower limit প্রায়শই ε > 0 ধরে নেওয়া হয়, অর্থাৎ:

R_H ≈ c × T^{2/3} × ∫ from ε to T of t^{-2/3} dt
= c × T^{2/3} × [3 × t^{1/3}] from ε to T
= 3 × c × T^{2/3} × (T^{1/3} - ε^{1/3})
= 3 × c × (T - ε^{1/3} × T^{2/3}) ≈ 3 × c × T

(ε খুব ছোট হলে ε^{1/3} উপেক্ষা করা যায়)

এখানে আমরা ব্যবহার করেছি: ∫ t^{-2/3} dt = 3 × t^{1/3} + C

তাহলে পাই:

R_H ≈ 3 × c × T

অর্থাৎ বর্তমান মহাবিশ্বের রেডিয়াস প্রায়:

3 × 13.8 × 10^9 × 9.46 × 10^{12} km ≈ 3.92 × 10^{23} km

তাহলে আপনি যদি আলোর গতিতে চলেন, আপনাকে এই দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে। সময়ের হিসাব হবে:

t_travel = R_H / c = 3 × T ≈ 41.4 বিলিয়ন বছর

কিন্তু সমস্যাটি এখানেই শেষ নয়। কারণ মহাবিশ্ব প্রসারিত হচ্ছে, এবং আপনি যতদূর যাচ্ছেন, ততই স্পেস নিজেই প্রসারিত হয়ে যাচ্ছে। এই জন্য আপনাকে co-moving এবং proper distance-এর মধ্যে পার্থক্য বুঝতে হবে।

Proper distance D_p(t) = a(t) × r

যেখানে r হচ্ছে co-moving coordinate যেটি সময়ের সঙ্গে অপরিবর্তিত, এবং a(t) হচ্ছে প্রসারণের কারণে সময়ের সঙ্গে পরিবর্তিত স্কেল ফ্যাক্টর। আপনাকে পুরো মহাবিশ্ব ঘুরে দেখতে হলে আপনাকে spherically symmetricভাবে পুরো co-moving বৃত্তে যেতে হবে। কিন্তু মহাবিশ্ব সমতল হলেও এর topology নির্ধারিত করে এটি বন্ধ না খোলা। যদি আমরা ধরে নিই মহাবিশ্ব টোরাস-আকৃতির, অর্থাৎ বন্ধ topology, তাহলে মহাবিশ্ব ঘুরে আবার নিজের কাছে ফিরে আসার সম্ভাবনা তৈরি হয়।

তবে, আপনি যদি আলোর গতিতে চলেন, তাহলে বিশেষ আপেক্ষিকতার নিয়ম অনুযায়ী আপনার জন্য স্পেসটাইম ইন্টারভ্যাল হবে শূন্য, অর্থাৎ:

s² = -c² t² + x² + y² + z² = 0
⇒ x² + y² + z² = c² t²

এটি বোঝায় যে আলো একটি গোলকের পৃষ্ঠ বরাবর বিস্তৃত হয়, যার ব্যাসার্ধ সময়ের সঙ্গে বাড়ে: r = c·t

তবে এটি শুধুমাত্র একটি ফ্ল্যাট, অপ্রসারিত স্পেসটাইমে (Minkowski spacetime) প্রযোজ্য, যেখানে কোনো মহাকর্ষীয় বক্রতা বা মহাবিশ্বের প্রসারণ নেই। বাস্তব কসমোলজিতে, যেখানে মহাবিশ্ব প্রসারিত হচ্ছে এবং স্পেসটাইম বক্র, সেখানে এই গোলকের ব্যাখ্যাটি কেবল একটি আদর্শায়িত মডেল, এটি সরাসরি প্রয়োগযোগ্য নয়।

তবুও, যদি আমরা একটি সীমিত ও ফিনাইট টপোলজির মহাবিশ্ব কল্পনা করি (যেমন টোরাস বা বন্ধ গোলাকার মহাবিশ্ব), তাহলে আলো একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করে আবার শুরুস্থানে ফিরে আসতে পারে। যদি এই পরিধি হয় L ≈ 93 বিলিয়ন আলোকবর্ষ (observational universe-এর একটি আনুমানিক পরিমাপ), তাহলে c·t = L পূর্ণ হলে একবার সম্পূর্ণভাবে মহাবিশ্ব 'ঘোরা' সম্পন্ন হয়। আপনি যদি তিনটি ভৌগোলিক দিকেই ঘোরেন (x, y, z), তাহলে মোট অতিক্রমযোগ্য দূরত্ব হবে প্রায় 3L, যার জন্য সময় লাগবে:

t_total = 3L / c ≈ 279 বিলিয়ন বছর

তবে বাস্তব মহাবিশ্ব যেহেতু প্রসারিত হচ্ছে এবং সেই প্রসারণ সময়ের সঙ্গে ত্বরিত হচ্ছে, তাই আলোর গতিতে চললেও আপনি কখনোই পুরো মহাবিশ্বকে ঘুরে দেখতে পারবেন না। উপরের হিসাব শুধুমাত্র একটি আদর্শ ও অপরিবর্তনীয় টপোলজির অনুমান নির্ভর মডেল।

কিন্তু মহাবিশ্ব যদি finite হয়, তাহলে আপনি যখন c × t = L (মহাবিশ্বের পরিধি), তখন আপনি একবার পূর্ণভাবে ঘুরে এলেন। ধরি L = 93 বিলিয়ন আলোকবর্ষ (observational universe-এর ব্যাস), তাহলে আপনাকে 93 বিলিয়ন বছর লাগবে শুধুমাত্র একদিক ঘুরে দেখতে। কিন্তু গোলাকার মহাবিশ্বে আপনাকে তিনটি দিক ঘুরে দেখতে হলে আপনাকে সেই দূরত্ব তিনবার অতিক্রম করতে হবে, মানে 279 বিলিয়ন বছর।

তবে যদি আপনি আলো নয়, ট্যাকিওন হন, যেটি আলোচেয়ে দ্রুতগামী কণিকা, তাহলে প্রশ্নটি পরিবর্তিত হবে। কিন্তু বর্তমান পদার্থবিজ্ঞানে ট্যাকিওনের অস্তিত্ব নেই।

এখন আমরা চাইলে geodesic equation ব্যবহার করে আপনার গতিপথ নির্ণয় করতে পারি:

d²x^μ / dτ² + Γ^μ_{νσ} × (dx^ν / dτ) × (dx^σ / dτ) = 0

এখানে x^μ হচ্ছে আপনার স্পেসটাইম কোঅর্ডিনেট, τ হচ্ছে proper time, Γ^μ_{νσ} হচ্ছে Christoffel symbol, এবং এই সমীকরণ বলে দেয় স্পেসটাইমে ফ্রি-ফলিং অবজেক্ট কিভাবে চলে। আপনি যদি আলোর গতিতে চলেন, তাহলে dτ = 0 এবং সমীকরণটি null geodesic হয়ে যায়।

আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ সমীকরণ হলো:

H^2 = (ȧ / a)^2 = (8πG / 3) × ρ - (k c^2) / a^2 + (Λ c^2) / 3

এটি Friedmann সমীকরণ, যেখানে H হচ্ছে হাবলের ধ্রুবক, ȧ হচ্ছে স্কেল ফ্যাক্টরের প্রথম ডেরিভেটিভ, G হলো মহাকর্ষ ধ্রুবক, ρ হলো শক্তি ঘনত্ব, k হলো কার্ভেচার প্যারামিটার, এবং Λ হচ্ছে কোসমোলজিক্যাল কনস্ট্যান্ট।

এই সমীকরণ থেকে বোঝা যায় মহাবিশ্বের প্রসারণের হার এবং বক্রতার ওপর নির্ভর করে আলোর গতিতে ভ্রমণের সময়কাল এবং পথের পরিধি।

সুতরাং, আপনি যত দ্রুতই আলোর গতিতে চলুন না কেন, মহাবিশ্বের এই প্রসারণ এবং বক্রতার কারণে আপনি কখনো পুরো মহাবিশ্বকে দেখতে বা ঘুরে দেখতে পারবেন না। কিন্তু যদি মহাবিশ্ব ফিনাইট (সীমাবদ্ধ) এবং বন্ধ আকৃতির হতো, তাহলে তাত্ত্বিকভাবে আলোর গতিতে যথেষ্ট সময় পেলে পুরো মহাবিশ্ব ঘুরে আসা সম্ভব হতো।

আলোর গতিতে মহাবিশ্ব ঘুরে দেখতে চাইছেন, তাহলে প্রশ্নটি শুধুমাত্র সময়ের ব্যাপার নয়, বরং জড়িয়ে আছে মহাবিশ্বের গঠন, প্রসারণ, বক্রতা ও আপেক্ষিকতার জটিল পরিভাষায়। কারণ মহাবিশ্ব একটি স্থির বলয়ের মতো কিছু নয়, যেটি আপনি রেলগাড়ির মতো ঘুরে দেখতে পারেন; এটি একটি চার-মাত্রিক স্পেসটাইম, যেখানে স্থান ও সময় একে অপরের সঙ্গে জটিলভাবে জড়িত। সেই কারণে এই প্রশ্নের উত্তর খুঁজতে হলে আপনাকে প্রথমে বুঝতে হবে মহাবিশ্বের জ্যামিতি এবং আপেক্ষিকতা কীভাবে কাজ করে।

প্রথমে আমরা মহাবিশ্বকে একটি ফ্ল্যাট (k = 0), সমভাবে বিস্তৃত এবং সমভাবে ঘনত্বযুক্ত কসমোলজিকাল মডেল হিসেবে ধরব, যার বর্ণনা পাওয়া যায় Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) ম্যাট্রিক্স থেকে। এই ম্যাট্রিক্সটি হল:

ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 [dr^2 / (1 - k r^2) + r^2 (dθ^2 + sin^2θ dφ^2)]

এখানে ds হচ্ছে স্পেসটাইমের ইন্টারভ্যাল, c আলোর গতি, t সময়, r রেডিয়াল কোঅর্ডিনেট, θ ও φ কৌণিক কোঅর্ডিনেট, এবং a(t) হচ্ছে স্কেল ফ্যাক্টর যা সময়ের সঙ্গে মহাবিশ্বের প্রসারণ বোঝায়।

k = 0 হলে মহাবিশ্ব ফ্ল্যাট, k = +1 হলে এটি গোলাকার এবং k = -1 হলে এটি খোলা বা হাইপারবোলিক।

আমরা ধরে নেব আমাদের মহাবিশ্ব ফ্ল্যাট (k = 0), কারণ বর্তমান পর্যবেক্ষণ তা-ই ইঙ্গিত করে। তাহলে ম্যাট্রিক্সটি সরল হয়ে দাঁড়ায়:

ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 [dr^2 + r^2 (dθ^2 + sin^2θ dφ^2)]

এখন প্রশ্ন হল, আপনি যদি আলোর গতিতে চলেন, তাহলে আপনার জন্য ds^2 = 0 হবে, কারণ আলোকরশ্মির জন্য স্পেসটাইম ইন্টারভ্যাল সবসময় শূন্য। তাহলে:

0 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 dr^2
=> dr/dt = c / a(t)

এই সমীকরণটি বলে দেয় যে আলোকরশ্মি মহাবিশ্বে কত দ্রুত চলতে পারে, এবং এটি স্কেল ফ্যাক্টরের ওপর নির্ভরশীল।

কিন্তু আপনার প্রশ্ন ছিল, আপনি আলোর গতিতে পুরো মহাবিশ্ব ঘুরে দেখতে চাইলে কত সময় লাগবে। তার মানে আপনাকে মহাবিশ্বের কসমোলজিকাল হরাইজন বা দেখা-যাওয়ার সীমানা পর্যন্ত যেতে হবে।

মহাবিশ্বের অবজারভেবল রেডিয়াস R_H সংজ্ঞায়িত করা যায় এইভাবে:

R_H = ∫ from 0 to t of [c / a(t'] dt'

এই সমীকরণটি বলে দেয়, মহাবিশ্বের বয়স t পর্যন্ত আলো কতদূর পৌঁছাতে পেরেছে, এই সময় পর্যন্ত স্কেল ফ্যাক্টরের বিপরীত অনুপাতে আলো চলেছে।

ধরা যাক মহাবিশ্বের বর্তমান বয়স T ≈ 13.8 × 10^9 বছর। আমরা যদি ধরি:

a(t) = (t / T)^{2/3}

অর্থাৎ matter-dominated universe, তাহলে:

R_H = ∫ from 0 to T of [c / (t/T)^{2/3}] dt
= c × ∫ from 0 to T of (T / t)^{2/3} dt
= c × T^{2/3} × ∫ from 0 to T of t^{-2/3} dt

এই ইন্টিগ্রালটি t = 0-এ একটি singularity তৈরি করে, কারণ t^{-2/3} অনন্তের দিকে ধাবিত হয়। বাস্তব কসমোলজিতে t = 0 সময়টি Big Bang singularity, যেখানে আমাদের মডেল প্রযোজ্য নয়। তাই ইন্টিগ্রেশনের lower limit প্রায়শই ε > 0 ধরে নেওয়া হয়, অর্থাৎ:

R_H ≈ c × T^{2/3} × ∫ from ε to T of t^{-2/3} dt
= c × T^{2/3} × [3 × t^{1/3}] from ε to T
= 3 × c × T^{2/3} × (T^{1/3} - ε^{1/3})
= 3 × c × (T - ε^{1/3} × T^{2/3}) ≈ 3 × c × T

(ε খুব ছোট হলে ε^{1/3} উপেক্ষা করা যায়)

এখানে আমরা ব্যবহার করেছি: ∫ t^{-2/3} dt = 3 × t^{1/3} + C

তাহলে পাই:

R_H ≈ 3 × c × T

অর্থাৎ বর্তমান মহাবিশ্বের রেডিয়াস প্রায়:

3 × 13.8 × 10^9 × 9.46 × 10^{12} km ≈ 3.92 × 10^{23} km

তাহলে আপনি যদি আলোর গতিতে চলেন, আপনাকে এই দূরত্ব অতিক্রম করতে হবে। সময়ের হিসাব হবে:

t_travel = R_H / c = 3 × T ≈ 41.4 বিলিয়ন বছর

কিন্তু সমস্যাটি এখানেই শেষ নয়। কারণ মহাবিশ্ব প্রসারিত হচ্ছে, এবং আপনি যতদূর যাচ্ছেন, ততই স্পেস নিজেই প্রসারিত হয়ে যাচ্ছে। এই জন্য আপনাকে co-moving এবং proper distance-এর মধ্যে পার্থক্য বুঝতে হবে।

Proper distance D_p(t) = a(t) × r

যেখানে r হচ্ছে co-moving coordinate যেটি সময়ের সঙ্গে অপরিবর্তিত, এবং a(t) হচ্ছে প্রসারণের কারণে সময়ের সঙ্গে পরিবর্তিত স্কেল ফ্যাক্টর। আপনাকে পুরো মহাবিশ্ব ঘুরে দেখতে হলে আপনাকে spherically symmetricভাবে পুরো co-moving বৃত্তে যেতে হবে। কিন্তু মহাবিশ্ব সমতল হলেও এর topology নির্ধারিত করে এটি বন্ধ না খোলা। যদি আমরা ধরে নিই মহাবিশ্ব টোরাস-আকৃতির, অর্থাৎ বন্ধ topology, তাহলে মহাবিশ্ব ঘুরে আবার নিজের কাছে ফিরে আসার সম্ভাবনা তৈরি হয়।

তবে, আপনি যদি আলোর গতিতে চলেন, তাহলে বিশেষ আপেক্ষিকতার নিয়ম অনুযায়ী আপনার জন্য স্পেসটাইম ইন্টারভ্যাল হবে শূন্য, অর্থাৎ:

s² = -c² t² + x² + y² + z² = 0
⇒ x² + y² + z² = c² t²

এটি বোঝায় যে আলো একটি গোলকের পৃষ্ঠ বরাবর বিস্তৃত হয়, যার ব্যাসার্ধ সময়ের সঙ্গে বাড়ে: r = c·t

তবে এটি শুধুমাত্র একটি ফ্ল্যাট, অপ্রসারিত স্পেসটাইমে (Minkowski spacetime) প্রযোজ্য, যেখানে কোনো মহাকর্ষীয় বক্রতা বা মহাবিশ্বের প্রসারণ নেই। বাস্তব কসমোলজিতে, যেখানে মহাবিশ্ব প্রসারিত হচ্ছে এবং স্পেসটাইম বক্র, সেখানে এই গোলকের ব্যাখ্যাটি কেবল একটি আদর্শায়িত মডেল, এটি সরাসরি প্রয়োগযোগ্য নয়।

তবুও, যদি আমরা একটি সীমিত ও ফিনাইট টপোলজির মহাবিশ্ব কল্পনা করি (যেমন টোরাস বা বন্ধ গোলাকার মহাবিশ্ব), তাহলে আলো একটি নির্দিষ্ট দূরত্ব অতিক্রম করে আবার শুরুস্থানে ফিরে আসতে পারে। যদি এই পরিধি হয় L ≈ 93 বিলিয়ন আলোকবর্ষ (observational universe-এর একটি আনুমানিক পরিমাপ), তাহলে c·t = L পূর্ণ হলে একবার সম্পূর্ণভাবে মহাবিশ্ব 'ঘোরা' সম্পন্ন হয়। আপনি যদি তিনটি ভৌগোলিক দিকেই ঘোরেন (x, y, z), তাহলে মোট অতিক্রমযোগ্য দূরত্ব হবে প্রায় 3L, যার জন্য সময় লাগবে:

t_total = 3L / c ≈ 279 বিলিয়ন বছর

তবে বাস্তব মহাবিশ্ব যেহেতু প্রসারিত হচ্ছে এবং সেই প্রসারণ সময়ের সঙ্গে ত্বরিত হচ্ছে, তাই আলোর গতিতে চললেও আপনি কখনোই পুরো মহাবিশ্বকে ঘুরে দেখতে পারবেন না। উপরের হিসাব শুধুমাত্র একটি আদর্শ ও অপরিবর্তনীয় টপোলজির অনুমান নির্ভর মডেল।

কিন্তু মহাবিশ্ব যদি finite হয়, তাহলে আপনি যখন c × t = L (মহাবিশ্বের পরিধি), তখন আপনি একবার পূর্ণভাবে ঘুরে এলেন। ধরি L = 93 বিলিয়ন আলোকবর্ষ (observational universe-এর ব্যাস), তাহলে আপনাকে 93 বিলিয়ন বছর লাগবে শুধুমাত্র একদিক ঘুরে দেখতে। কিন্তু গোলাকার মহাবিশ্বে আপনাকে তিনটি দিক ঘুরে দেখতে হলে আপনাকে সেই দূরত্ব তিনবার অতিক্রম করতে হবে, মানে 279 বিলিয়ন বছর।

তবে যদি আপনি আলো নয়, ট্যাকিওন হন, যেটি আলোচেয়ে দ্রুতগামী কণিকা, তাহলে প্রশ্নটি পরিবর্তিত হবে। কিন্তু বর্তমান পদার্থবিজ্ঞানে ট্যাকিওনের অস্তিত্ব নেই।

এখন আমরা চাইলে geodesic equation ব্যবহার করে আপনার গতিপথ নির্ণয় করতে পারি:

d²x^μ / dτ² + Γ^μ_{νσ} × (dx^ν / dτ) × (dx^σ / dτ) = 0

এখানে x^μ হচ্ছে আপনার স্পেসটাইম কোঅর্ডিনেট, τ হচ্ছে proper time, Γ^μ_{νσ} হচ্ছে Christoffel symbol, এবং এই সমীকরণ বলে দেয় স্পেসটাইমে ফ্রি-ফলিং অবজেক্ট কিভাবে চলে। আপনি যদি আলোর গতিতে চলেন, তাহলে dτ = 0 এবং সমীকরণটি null geodesic হয়ে যায়।

আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ সমীকরণ হলো:

H^2 = (ȧ / a)^2 = (8πG / 3) × ρ - (k c^2) / a^2 + (Λ c^2) / 3

এটি Friedmann সমীকরণ, যেখানে H হচ্ছে হাবলের ধ্রুবক, ȧ হচ্ছে স্কেল ফ্যাক্টরের প্রথম ডেরিভেটিভ, G হলো মহাকর্ষ ধ্রুবক, ρ হলো শক্তি ঘনত্ব, k হলো কার্ভেচার প্যারামিটার, এবং Λ হচ্ছে কোসমোলজিক্যাল কনস্ট্যান্ট।

এই সমীকরণ থেকে বোঝা যায় মহাবিশ্বের প্রসারণের হার এবং বক্রতার ওপর নির্ভর করে আলোর গতিতে ভ্রমণের সময়কাল এবং পথের পরিধি।

সুতরাং, আপনি যত দ্রুতই আলোর গতিতে চলুন না কেন, মহাবিশ্বের এই প্রসারণ এবং বক্রতার কারণে আপনি কখনো পুরো মহাবিশ্বকে দেখতে বা ঘুরে দেখতে পারবেন না। কিন্তু যদি মহাবিশ্ব ফিনাইট (সীমাবদ্ধ) এবং বন্ধ আকৃতির হতো, তাহলে তাত্ত্বিকভাবে আলোর গতিতে যথেষ্ট সময় পেলে পুরো মহাবিশ্ব ঘুরে আসা সম্ভব হতো।