নবম-দশম শ্রেণীর উচ্চতর গণিতের একটা সমস্যা নিয়া মহা সমস্যায় পরছি... সমস্যায় অবশ্য আজকে পরি নাই। বহুত আগেই পরছি। বেশ কয়েকজনের সাথে কথা বলছি। কেউ সন্তোষজনক সমাধান দিতে পারে নাই। এখন ব্লগারদের সরনাপন্ন হইলাম... আপ্নারা প্লিজ হেল্পান...

এটি হচ্ছে উচ্চতর গণিতের ধারার সমষ্টির একটা সমস্যা। এটি বহুবার এস.এস.সি পরীক্ষায় এসেছে।

সমস্যাঃ x এর উপর কি শর্ত আরোপ করলে 1/(1+x) + 1/ (1+x)^2 + 1/ (1+x)^3 + … … … ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে? এবং সেই শর্তাধীনে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় কর।


সমাধান :
এখানে,
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা, যার,
প্রথম পদ, a = 1/(1+x)
এবং সাধারন অনুপাত r = 1/(1+x)

আমরা জানি,
অনন্ত গুণোত্তর ধারার অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি,
| r | < 1
বা -1 < r < 1 হয়।
অর্থাৎ , | 1/(1+x) | < 1 হয়,

এখন,
1/(1+x) ধনাত্মক হলে,
1+x > 1 [ ব্যস্তকরন করে]
বা, x > 0

(এই পর্যন্ত সব ঠিক আছে)


নিচের অংশটুকু নিয়াই ভেজাল লাগছে...

১ম নিয়মঃ

আবার, 1/(1+x) ঋনাত্মক হলে,
-1/(1+x) < 1
বা, -1 < (1+x) [উভয় পক্ষকে 1+x দ্বারা গুণ করে।]
বা, 1+x > -1
বা, x > -2

যদি x > 0 হয়, তবে অবশ্যই x > -2 হবে।
সুতরাং, নির্ণেয় শর্ত, x > 0. (উত্তর মিলে নাই... )




2nd নিয়ম...

1/(1+x) ঋণাত্মক হলে,
-1/(1+x) < 1
বা, -(1+x) > 1 [ব্যস্তকরন করে] (আমার আপত্তি এইখানেই)
বা, 1+x < -1 [উভয় পক্ষকে -1 দ্বারা গুণ করে।]
বা, x < -2

তাহলে, নির্ণেয় শর্ত, x < -2 এবং x > 0 (এইটা বইয়ের উত্তর)

বোল্ড করা লাইনের ব্যস্তকরন কি বৈধ???

সমষ্টি নিয়ে কোন সমস্যা নাই...

এখন কথা হইলো ২য় নিয়মটা অনেক স্কুলেই স্যাররা করান। স্যারদের নজরে কি এই জিনিসটা পরে নাই???