সোনালী অনুপাত বা Golden ratio
নিয়ে গণিতপ্রেমীদের মাতামাতির শেষ নেই। আর মাতামাতি হবেই বা না কেন, প্রকৃতির প্রায় সব সৌন্দর্যের পিছনেই এই সোনালী অনুপাত লুকিয়ে আছে, এমনকি বাদ যায়নি পদার্থবিজ্ঞানও!!
Golden Ratio বা সোনালী অনুপাতকে প্রকাশ করা হয় ল্যাটিন অক্ষর Φ (PHI/ ফাই ) দ্বারা। এর মান ১.৬১৮০৩৩৯৮৯ (প্রায়)।
এটি একটি অমূলদ সংখ্যা ।

ফিবনাচ্চি সিরিজ -
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55……
এইটা ফিবোনাচ্চি সিরিজ। এই সিরিজের যে কোন সংখ্যা তার পূর্ববর্তী দুটি সংখ্যার যোগফলের সমান। যেমনঃ 0+1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, 5+3 =8 .......... ইত্যাদি।

ফিবনাচ্চি সিরিজের যেকোন পদকে আগের পদ দিয়ে ভাগ করলে সেই সংখ্যাটাই PHI । প্রথম কয়েকটা পদের জন্য হিসেব কিছুটা বিদঘুটে মনে হলেও ফিবনোচ্চি সিরিজ ধরে যত সামনে যাওয়া হবে তত ক্রমিক সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত PHI এর দিকে এগবে এবং ৩৯ তম পদ থেকে ক্রমিক সংখ্যাদ্বয়ের অনুপাত প্রায় ধ্রুব হয়ে যাবে। যেমন
2/1=2,
3/2=1.5,
5/3=1.665,
8/5=1.6,
13/8=1.625,
21/13=1.615
.....................
এখানে প্রথম দুটি ভাগফল বাদ দিলে বাকি ভাগফলগুলোর মান প্রায় সমান বা ধ্রুবক।

অথবা উল্টো করে বললে এই অনুপাতকে আমরা 1 : 1.6180… = 0.6180… ও বলতে পারি । এই 0.6180… কেও কিন্তু গোল্ডেন রেশিও বলা হয় । এবং একে ছোট হাতের ফাই ( φ) দ্বারা প্রকাশ করা হয় । তার মানে সম্পর্কটা হচ্ছে এরকম : Φ=1/ φ
PHI কে কিন্তু আরো অনেকভাবে প্রকাশ করা যায় ;
Φ=1+1/(1+1/(1+…))
এই PHI ই হল একমাত্র সংখ্যা যা এই ধরনের অদ্ভুত আচরণ করে :

ধরি, a এবং b দুইটি সংখ্যার মধ্যে সোনালী অনুপাত বজায় তাহলে লিখা যায়
(a+b)/a = a/b = Φ
or, ((a/b)+1)/(a/b) = a/b
যেহেতু a/b = Φ
সুতরাং, (Φ+1)/ Φ = Φ
or, Φ+1 = Φ^2
or, Φ^ 2= Φ+ 1
ot, Φ^2 - Φ-1 = 0
উপোরোক্ত সমীকরণটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার
সমাধান হচ্ছে :
Φ = (1+ √5)/2 = 1.618033.....
এভাবে সোনালী অনুপাত পাওয়া যায়
পদার্থবিজ্ঞানে প্রয়োগ :
আমরা জানি, ভূপৃষ্ঠ থেকে যতই উপরে ওঠা যায় ততই অভিকর্ষজ ত্বরণ এর মান কমতে থাকে, আবার নিচে নামলেও অভিকর্ষজ ত্বরণ এর মান কমতে থাকে। কিন্তু ঝামেলাটা হলো দুইক্ষেত্রে এই মান কমার ধরণ বা হার একরকম নয়, উপরে উঠার সময় যে সমীকরণ অনুসারে অভিকর্ষজ ত্বরণ এর মান কমে নিচে নামার সময় সেই সমীকরণ অনুসারে কমে না (সমীকরণগুলো একটু পরেই দিচ্ছি)। এর মানে হলো আপনি একবার ভূপৃষ্ঠ থেকে উপরে কোন পাহাড়ে উঠে নিজের ওজন মেপে আবার যদি সেই পাহাড়ের উচ্চতা পরিমাণই মাটির নিচে গিয়ে নিজের ওজন মাপেন তাহলে দুইক্ষেত্রে ভিন্ন ভিন্ন মান আসবে।

কিন্তু সবসময়ই কি একই ঘটনা ঘটবে?? এমন কোন উচ্চতাই কী নেই যে উচ্চতায় উপরে উঠলেও যে ওজন নিচে নামলেও সেই একই ওজন?!?

মনে করি সেই উচ্চতাটি h (নিঃসন্দেহে h>0)।

আমাদের মূল উদ্যেশ্য ছিল ফিজিক্সে সোনালী অনুপাতের যাদুটা দেখা। সেই যাদুটা দেখতে সামান্য কিছু হিসাব নিকাশ করা যাক!!

আমরা জানি, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R এবং ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ g হলে, ভূপৃষ্ঠ হতে h উচ্চতার কোন স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ,

g'=g{R/(R+h)}²

আবার, ভূপৃষ্ঠ হতে h গভীরতার কোন
স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ,

g"=g(R-h)/R



আমরা এমন একটা উচ্চতা বের করতে চাচ্ছি যেখানে,
g'=g"
=> g{R/(R+h)}²=g(R-h)/R
=> R³=(R-h)(R+h)(R+h)
=> R³=(R²-h²)(R+h)
=> R³=R³+R²h-Rh²-h ³
=> R²h-Rh²-h³=0
উভয় পক্ষকে h³ দিয়ে ভাগ করে পাই,
(R/h)²-(R/h)-1=0

এই সমীকরণটাকে চিনতে পেরেছেন? সমীকরণটা x²-x-1=0 আকারের, তাইনা?? হ্যাঁ, এটাই আমাদের সেই পরিচিত সমীকরণ !!! এটার দুটা সমাধানের মধ্যে একটি (1+√5)/2 একে বলা হয় Golden ratio বা সোনালী অনুপাত
এবং একে φ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। (অপর সমাধানটি ঋণাত্মক।)

অর্থাত্‍,
R/h=φ=(1+√5)/2

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ এবং আমাদের কাঙ্খিত উচ্চতার অনুপাত হলো সোনালী অনুপাত। (প্রকৃতপক্ষে শুধু পৃথিবী নয়, যেকোন গ্রহ উপগ্রহ বা যেকোন গোলকের জন্যই এই সম্পর্ক খাটে)

এমন একটা অসাধারণ ও ব্যতিক্রমী ঘটনার ভিতরও সোনালী অনুপাত লুকিয়ে আছে কী অদ্ভুতভাবে!!! —না, অদ্ভুত বলাটা বোধহয় ঠিক হলো না। সব অসাধারণ ঘটনার পিছনে সোনালী অনুপাত লুকিয়ে থাকবে, এটাই তো মনে হয় স্বাভাবিক!!

***
এখানে হিসাবের সময় একটু সতর্ক থাকতে হবে। ভূপৃষ্ঠ থেকে h উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ নির্ণয়ের সূত্র হিসাবে অনেকে

g'=g(1-2h/R)

সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন। কিন্তু এটা এক্ষেত্রে কাজে দেবে না। কারণ এটি আমাদের ব্যবহৃত সূত্রের দ্বিপদী বিস্তৃতি করে উচ্চতর ঘাতসমূহ উপেক্ষা করে তৈরী, তাই শুধুমাত্র অল্প উচ্চতায় এটি সঠিক ফল দেয়। এখানে এটি দিয়ে হিসাব নিকাশ করলে খুবই অল্প উচ্চতা (h=0) বের হবে আগেই বলে দিয়েছিলাম h>0)

মানব দেহে ফাই এর ব্যবহার -
ছেলে/মেয়ে সকল বয়সের মানুষের ক্ষেত্রেই ,
থেকে হাটু পর্যন্ত এবং হাটু থেকে পায়ের আঙ্গুলের মাথা পর্যন্ত দূরত্বের অনুপাত PHI ,
দেহের সম্পূর্ণ দৈর্ঘ্য : নাভির নিচ থেকে বাকি অংশের দৈর্ঘ্য = 1.6180…(PHI) ;
বাহু (বাইসেপ্স) এর সাথে সম্পূর্ণ হাত এর অনুপাতের মান হল 1.6180…(PHI);
আঙ্গুলের অগ্রভাগ থেকে কনুই এর দৈর্ঘ্য এবং কবজি থেকে কনুই এর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 1.6180…(PHI) ;
মুখমণ্ডলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 1.6180…(PHI) ;
ঠোঁটের দৈর্ঘ্য ও নাকের প্রস্থের অনুপাত 1.6180…(PHI) ,

শুধু মানবদেহই নয় , গোটা প্রানীকুলে-উদ্ভিদকুলে সব কিছুতেই মাত্রাগত ভাবে PHI বিদ্যমান । একটা মৌচাকে স্ত্রী মৌমাছি ও পুরুষ মৌমাছির সংখ্যার অনুপাত PHI । ফুলের ভেতর প্রতি স্তরের রেনুর সাথে পরের স্তরের রেনুর অনুপাত PHI । গাছের প্রতি স্তরে স্তরে পাতা বৃদ্ধির অনুপাত PHI । মাছি ,কীট, ওয়াইল্ড ডগ ইত্যাদির চলাফেরার পথ কিংবা আক্রমনের পথ হয় Golden Spiral অনুযায়ী (মানে PHI )। মুরগীর ডিমেও Golden Spiral খাপে খাপে বসে যায়! এমনকি যে প্রানীর কোন হাত-পা-মাথা কিছুই নেই যেমন শামুক-ঝিনুক-সী-শেল এসবেও কোন না কোনভাবে PHI রয়েছে !!


মানুষের চোখ অন্য ইমেজের চেয়ে, যেসব ইমেজ Golden Ratio কে অনুসরণ করে তাকে খুব সহজে উপভোগ্য হিসেবে নিতে পারে । আর যেসব ইমেজকে চোখ সহজে নিতে পারে সেগুলোকেই আমরা বলি সৌন্দর্য ! সে জন্যই বিখ্যাত অনেক শিল্পীরাই তাদের কাজে PHI প্রয়োগ করেছেন যেমন মিসরের পিরামিডে , আগ্রার তাজমহলে ফ্রান্সের আইফেল টাওয়ারে
:
এরকম আরো অসংখ্য PHI খুঁজে পাওয়া গিয়েছে সৌরজগতে , মহাবিশ্বে , আমাদের পৃথিবীর আনাচে কানাচে । মহাবিশ্বের চরম বিশৃঙ্খলার মধ্যেও PHI (Golden Ratio) বজায় রেখেছে তার শৃঙ্খলা । সবকিছুর ভেতরে এক অপার মেলবন্ধন সৃষ্টি করেছে । সবকিছুতেই একটু গভীর দৃষ্টি দিলেই PHI খুঁজে পাওয়া যাবে। এজন্যই একে বলা হয় The number of life , The divine proportion ( স্বর্গীয় অনুপাত ) । "