“১৫৩” একটি অবাক করা সংখ্যা
গণিতকে আমরা মনে করি নিরস হিসাব নিকাসের বিষয়। কিন্তু এই গণিতের হিসাবের মাঝেই লুকিয়ে আছে অসংখ্য অবাক করা বিষয় আর বিষ্ময়। আমার এই লেখাটির শুধু মাত্র গণিতের সেই অবাক করা অসংখ্য বিষয়ের মাঝে একটি সংখ্যা ১৫৩-কে নিয়ে।

Triangular Number
১/ ১৫৩ একটি ট্রায়াঙ্গুলার নাম্বার (Triangular Number) ।
১ থেকে ১৭ পর্যর্ন্ত সংখ্যাগুলি পরপর যোগ করলে যে যোগফল পাওয়া যায় তা হচ্ছে ১৫৩। এই জন্য ১৫৩-কে সপ্তদশ ট্রায়াঙ্গুলার নাম্বার বলা হয়।
কিন্তু আরো মজার বিষয় হচ্ছে ১৫৩ এর প্রথম অঙ্ক ১ নিজে একটি Triangular Number। আবার প্রথমদুটি অঙ্ক ১৫-ও একট Triangular Number। ১৫৩ যে একটি ট্রায়াঙ্গুলার নাম্বার সে কথা তো প্রথমেই বলেছি।
যেমনঃ ১ = ১
১+২+৩+৪+৫ = ১৫
১+২+৩+৪+৫+৬+৭+৮+৯+১০+১১+১২+১৩+১৪+১৫+১৬+১৭ = ১৫৩



২/ ১৫৩-এর প্রথম অঙ্ক ১, প্রথম দুটি অঙ্ক ১৫ এবং তিনটি অঙ্ক ১৫৩ প্রপর যদি লিখি তাহলে একট প্রাইম সংখ্যা পাওয়া যাবে।
যেমনঃ ১১৫১৫৩ একটি প্রাইম সংখ্যা।


৩/ ১৫৩ একটি রিভ্যারর্সিবল ট্রায়াঙ্গুলার নাম্বার (Revarsuval triangular number) ।
কেন? কারণ ১৫৩কে উল্টে লিখলে পাই ৩৫১, আর ১ থেকে ২৬ পর্যন্ত সংখ্যাগুলি পরপর যোগ করলে যে যোগফল পাওয়া যায় তাও হচ্ছে ৩৫১।
যেমনঃ ১+২+৩+৪+৫+৬+৭+৮+৯+১০+১১+১২+১৩+১৪+১৫+১৬+১৭+১৮+১৯+২০+২১+২২+২৩+২৪+২৫+২৬ = ৩৫১।
যেহেতু ১৫৩ এবং তার উল্টো সংখ্যা ৩৫১ দুটিই ট্রায়ঙ্গুলার নাম্বার তাই ১৫৩কে রিভ্যারর্সিবল ট্রায়াঙ্গুলার নাম্বার বলে।



৪/ প্রথম পাঁটি সংখ্যার ফ্যাক্টরিয়াল (Factorials)এর যোগফল আমাদের এই ১৫৩ এর সমান। ফ্যাক্টরিয়ালকে “!” চিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করা হয়।
যেমনঃ
১ এর ফ্যাক্টরিয়াল = ১! = ১
২ এর ফ্যাক্টরিয়াল = ২! = ১×২ = ২
৩ এর ফ্যাক্টরিয়াল = ৩! = ১×২×৩ = ৬
৪ এর ফ্যাক্টরিয়াল = ৪! = ১×২×৩×৪ = ২৪
৫ এর ফ্যাক্টরিয়াল = ৫! = ১×২×৩×৪×৫ = ১২০
আর তাই, ১!+২!+৩!+৪!+৫! = ১+২+৬+২৪+১২০ = ১৫৩।



৫/ ১৫৩-কে যদি ৯৯৯ দিয়ে ভাগ করি তাহলে কি পাওয়া যাবে?
যেমনঃ (১৫৩ ÷ ৯৯৯) = ০.১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ১৫৩ ... ... ...
মজার তাই না।



৬/ ১৫৩ সংখ্যাটির ফ্যাক্টর অর্থাৎ যেসব সংখ্যা দিয়ে ১৫৩ সংখ্যাটিকে নিঃশেষে ভাগ করা যায় সেগুলো হচ্ছে ১, ৩, ৯, ১৭, ৫১ ও ১৫৩। এবার ১৫৩-কে বাদ দিয়ে বাকি ফ্যাক্টরগুলির যোগফল একটি perfect square বা পূর্ণ বর্গসংখ্যা।
যেমনঃ ১ + ৩ + ৯ + ১৭ + ৫১ = ৮১ = ৯^২
এখানেই শেষ নয়, এই ১৫৩ সংখ্যাটির অঙ্ক তিনটির যোগফলের বর্গ ও কিন্তু একই পূর্ণ বর্গসংখ্যা
যেমনঃ (১+৫+৩) ^২ = ৮১ = ৯^২
আবার, ১৫৩ সংখ্যাটির অঙ্ক তিনটির যোগফলো একটি পূর্ণ বর্গসংখ্যা।
যেমনঃ ১ + ৫ + ৩ = ৯ = ৩^২৷



৭/ ১৫৩ সংখ্যাটিকে যে সমস্ত সংখ্যা দিয়ে ভাগকরা যায় অর্থাৎ ফ্যাক্টরগুলির সমস্টি হচ্ছে ২৩৪।
যেমনঃ ১+৩+৯+১৭+৫১+১৫৩ = ২৩৪।
আবার, ১৫৩ সংখ্যাটির সব কটি অঙ্কের যোগফল ১+৫+৩ = ০৯
সেই সাথে ২৩৪ সংখ্যাটির সব কটি অঙ্কের যোগফলো কিন্তু ২+৩+৪ = ০৯
মজাটা দেখেন, উপরের ২৩৪-এর পরে যদি যোগফল ০৯-কে বসিয়ে দিই তাহলে পাওয়া যাবে ২৩৪০৯ যা কিনা ১৫৩-এর ফ্যাক্টরগুলির গুণফল। বিশ্বাস হচ্ছে না? দেখুন তাহলে।
যেমনঃ ১×৩×৯×১৭×৫১×১৫৩ = ২৩৪০৯।



৮/ দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর হিসেবে ১৫৩-কে পাওয়া যাবে যখন ক্রমিক সংখ্যাদ্বয় হবে ৭৬ ও ৭৭।
যেমনঃ (৭৭^২ - ৭৬^২) = ১৫৩



৯/ ১৫৩ সংখ্যাটির উল্টো সংখ্যাটি হচ্ছে ৩৫১৷ আর এ সংখ্যা দুটির যোগফল (১৫৩+৩৫১) = ৫০৪৷ আবার ৫০৪ এর বর্গকে প্রকাশ করা যায় পরস্পর উল্টো দুটি সংখ্যার গুণফল হিসেবে।
যেমনঃ ৫০৪^২ = (২৮৮ × ৮৮২)৷



১০/ যেসকল সংখ্যা তার অঙ্কগুলোর সমষ্টি বা যোগফল দিয়ে বিভাজ্য সে সংখ্যাগুলোকে বলা হয় হরশাদ নাম্বার (Harshad Number)। এই হিসেবে আমাদের ১৫৩ একটি হরশাদ নাম্বার (Harshad Number)।
যেমনঃ ১৫৩ ÷ (১+৫+৩)=১৭
আবার ১৫৩ একটি নিভেন নাম্বার (Niven Number) ও। কারণ যেসকল হরশাদ নাম্বারকে উল্টালে আরেকটি হরশাদ নাম্বার পাওয়া যায় তাদেরকে নিভেন নাম্বার বলে।
যেমনঃ ১৫৩-কে উল্টালে পাই ৩৫১। এখন ৩৫১ ÷ (৩+৫+১) = ৩৯।
অর্থাৎ ১৫৩ সংখ্যাটিকে আমরা বলতে পারি রিভার্সিবল হরশাদ নাম্বার অথবা রিভার্সিবল নিভেন নাম্বার (Reversible Harshad number বা Reversible Niven Number)৷



১১/ ১৫৩ একটি Friedman number। সেই সমস্ত সংখ্যাকেই Friedman number বলা হয় যে সমস্ত সংখ্যার নিজস্ব অঙ্কগুলিকে ব্যবহার করে সেই সংখ্যাটিকে তৈরি করা যায়। এই সংখ্যা তৈরির ক্ষেত্রে চারটি গাণিতিক চিহ্ন (+, −, ×, ÷) ব্যবহার করতে হয়। অবশ্য চাইলে অঙ্কগুলিকে পাওয়ার হিসেবেও ব্যবহার করা যায়।
যেমনঃ ১৫৩ = ৫১ × ৩ (এক্ষেত্রে পাওয়ার করার প্রয়োজন হয়নি)



১২/ ১৫৩ সংখ্যাটির অঙ্ক একটু ওলটপালট করে লিখে আমরা তৈরি করতে পারি ১৩৫। এবার এই ১৩৫-কে প্রকাশ করা যাবে এভাবেঃ ১৩৫ = ১^১ + ৩^২ + ৫^৩ ।




১৩/ আমরা ১৫৩ সংখ্যাটির অঙ্কগুলো ওলটপালট করে মোট ৬টি সংখ্যা তৈরি করতে পারবো। ১৫৩, ১৩৫, ৫১৩, ৫৩১, ৩৫১, ৩১৫। এবার মজার বিষয় হচ্ছে এই ৬টি সংখ্যা দিয়ে চমৎকার একটি Equation তৈরি করা যায়।
যেমনঃ ১৫৩ + ৩১৫ + ৫৩১ = ৩৫১ + ১৩৫ + ৫১৩।
অর্থাৎ
১৫৩ + ৩১৫ + ৫৩১ = ৯৯৯
৩৫১ + ১৩৫ + ৫১৩ = ৯৯৯

এরই সাথে আর একটু মজা যোগ কারা যায় যদি সংখ্যাগুলিকে এভাবে বসাই-
১৫৩ + ৫১৩ = ৬৬৬
৩১৫ + ৩৫১ = ৬৬৬
১৩৫ + ৫৩১ = ৬৬৬
মজার তাই না?

১৪/ Equation এর কথা যখন আসলোই তখন ১৫৩-এর আরো একটি Equation দেখাই।
যেমনঃ ১^০ + ৫^১ + ৩^২ = ১ × ৫ × ৩



১৫/ যে সমস্ত সংখ্যার প্রতিটি অংকের কিউবের (Cube) বা ঘনফলের যোগফল মূল সংখ্যারটির সমন হয় সেই সমস্ত সংখ্যাকেই হ্যাপি কিউব বলে। এই হিসেবে ১৫৩ একটি হ্যাপি কিউব (Happy Cube)।
যেমনঃ ১৫৩ = ১^৩+ ৫^৩+ ৩^৩ = ১ + ১২৫ + ২৭ = ১৫৩।
হ্যাপি কিউব পরিবারের সর্ব কনিষ্টতম সদস্য আমাদের এই ১৫৩ ভায়া। অর্থাৎ ১৫৩ এর চেয়ে বড় হ্যাপি কিউব আরো রয়েছে। আপনি খুঁজে বের করতে পারবেন একটি??

১৬/ শেষ করবো এই হ্যাপি কিউবের কথা দিয়েই। হ্যাপি কিউব (Happy Cube) এর প্রক্রিয়াটাতো দেখলেনই। এবার যে কোনো একটি সংখ্যা আপনি নিন যা ৩ দিয়ে বিভাজ্য। এবার এই সংখ্যাটিকে অব্যাহতভাবে বার বার হ্যাপি কিউবের প্রক্রিয়া করতে থাকুন। একসময় আপনি অবশ্যই ১৫৩ সংখ্যাটি পেয়ে যাবেন। আর যখনই ১৫৩-কে পেয়ে যাবেন তখনই আপনার সামনে আগানোর পথ বন্ধ হয়ে যাবে, অর্থাৎ হ্যাপি কিউব প্রক্রিয়া বন্ধ হয়ে যাবে। কারণ ১৫৩-কে হ্যাপি কিউব করলে ১৫৩-ই পাওয়া যায়।
তাহলে একটা উদাহরন দেখা যাক। শুরু করি ..... ২৪ দিয়ে কেমন,
২৪
২^৩ + ৪^৩ = ৮ + ৬৪ = ৭২
৭^৩ + ২^৩ = ৩৪৩ + ৮ = ৩৫১
৩^৩ + ৫^৩ + ১^৩ = ২৭ + ১২৫ + ১ = ১৫৩
চমৎকার, মাত্র তিনবার চেষ্ঠাকরেই ১৫৩-কে পেয়ে গেছি।

এবার ৮১০ দিয়ে চেষ্ঠা করে দেখি, কি বলেন?
৮১০
৮^৩ + ১^৩ + ০^৩ = ৫১২ + ১ + ০ = ৫১৩
৫^৩ + ১^৩ + ৩^৩ = ১২৫ + ১ +২৭ = ১৫৩
এবার মাত্র দুইবারের চেষ্ঠাতেই ১৫৩-তে পৌছে গেছি।

এই রকম অজস্র সংখ্যা নিয়ে বার বার চেষ্ঠা করে দেখা গেছে ১০^৫ বা ১,০০,০০০-এর চেয়ে ছোট কিন্তু ৩ দ্বারা বিভাজ্য সকল সংখ্যাই হ্যাপি কিউব প্রক্রিয়ায় ১৫৩-তে পৌঁছাতে সর্বোচ্চ ১৪ বার চেষ্ঠা করতে হতে পারে। আর সংখ্যাটি ১০,০০০-এর থেকে ছোট ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে চেষ্ঠা করতে হবে সর্বোচ্চ ১৩ বার। যদি কোনো সংখ্যা থেকে হ্যাপি কিউব প্রক্রিয়ায় ১৫৩-তে পৌছাতে ১৫ বার চেষ্ঠা করতে হয় তবে সেই সংখ্যাটি হবে ১০০০০০০০০০০০০০০০০০০০-এর চেয়ে বড়। কিন্তু দূর্ভাগ্যবসত যদি ১৫৩-তে পৌছাতে ১৬ বার চেষ্ঠা করতে হয় তবে সেই সংখ্যাটি হবে ১০^৬১০৪২৫২৪০০৫৪৮৬৯৬৮ -এর চেয়ে বড়। অর্থাৎ ১-এর পর ৬১০৪২৫২৪০০৫৪৮৬৯৬৮-গুলি শূন্য বসালে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে তার চেয়েও বড়।

ছোট্ট একটা চার্ট দিচ্ছি, নিজেরা চেষ্ঠা করে দেখেন মিলাতে পারেন কিনা।
১ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১৩৫ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
২ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১৮ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
৩ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ৩ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
৪ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ৯ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
৫ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১২ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
৬ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ৩৩ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
৭ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১১৪ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
৮ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ৭৮ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
৯ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১২৬ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
১০ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ৬ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
১১ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১১৭ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
১২ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ৬৬৯ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
১৩ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১৭৭ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।
১৪ বার চেষ্ঠা করলেই মিলে যাবে ১২৫৫৮ সংখ্যাটি দিয়ে শুরু করলে।


(যদি কোথাও কোনো প্রকার ভুল আপনার দৃষ্টিগোচর হয় তার জন্য ক্ষমা চেয়ে নিচ্ছি, আশা করি তা ক্ষমা সুন্দর দৃষ্টিতে দেখবেন। আর যদি আমার এই রেখা আপনার বিরক্তির কারণ হয় তাহলে মাইনাস দিয়ে দিয়েন। ধন্যবাদ, ভালো থাকবেন সকলে।)
সূত্রঃ
১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬,