অনেকদিন পর একটু পড়াশুনা করতে মন চাইলো, কিন্তু ‘মন বসে না পড়ার টেবিলে’। কি আর করার সি প্রোগ্রামিং বইটা নিয়ে একটু গুতাগুতি করতে করতেই wiki বাবা আমারে হাত ছানি দিয়ে ডাকলো। ফিবোনাচ্চি সিরিজ নিয়ে একটু চুদুরবুদুর করতে ইচ্ছা করলো। শুরু কইরা দিলাম ফিবোনাচ্চির উপর পি এইচ ডি

অনেকেই বিশ্বাস করেন শুধুমাত্র গনিত না, এই মহাবিশ্বের অনেক রহস্যেরই সমাধান সম্ভব এই ফিবোনাচ্চি সিরিজের মাধ্যমে। এইবার একটু ফিবোনাচ্চি সিরিজের বাবা I mean মিস্টার ফিবোনাচ্চির কথা বলি- ফিবোনাচ্চি রাশিমালার আবিষ্কারক ত্রয়োদশ শতাব্দীর বিখ্যাত গণিতবিদ Leonardo Da Pisa. উনার ডাকনাম ফিবোনাচ্চি। ১২০২ সালে Liber Abaci নামক পুস্তকটির মাধ্যমে তিনি পশ্চিম ইউরোপীয় গণিতকে “ফিবোনাচ্চি সিরিজের” সাথে পরিচয় করিয়ে দেন। যদিও এই পরিচয় করিয়ে দেবার অনেক আগেই ভারতীয় গণিতে এই রকম একটা সিরিজের কথা বলা হয়েছিল। ফিবোনাচ্চি সিরিজ নিয়ে ফিবোনাচ্চি সাহেব বলেছিলেন- “প্রকৃতির মূল রহস্য এ রাশিমালাতে আছে”।

এইবার আসেন ফিবোনাচ্চি সিরিজের একটু চরিত্র হনন করি, I mean এই সিরিজের characteristics গুলা নিয়ে একটু চিল্লাপাল্লা করি-

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55……
এইটাই ফিবোনাচ্চি সিরিজ। কিভাবে আসলো এইটা???

এই সিরিজের যে কোন সংখ্যা তার পূর্ববর্তী দুটি সংখ্যার যোগফলের সমান। যেমনঃ 0+1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, 5+3 =8..........ইত্যাদি। গণিতের ভাষায় বলতে গেলে বলা যায়- f(0)=0, f(1)=1…… হলে f(n)= f(n-1)+f(n-2).

এই সিরিজের যেকোন ৪টি সংখ্যা নেয়া হলে ১ম ও ৪র্থ সংখ্যার যোগফল থেকে ২য় ও ৩য় সংখ্যার যোগফল বিয়োগ দিলে সবসময় ওই ৪ট সংখ্যার ১ম টি পাওয়া যাবে। আবার ১ম ও ৪র্থ সংখ্যার গুনফল থেকে ২য় ও ৩য় সংখ্যার গুনফল বিয়োগ দিলে সবসময় বিয়োগফল ক্রমান্বয়ে 1 এবং -1.
ধরেন আপনাকে আমি চারটা সংখ্যা ধার দিলাম (ধার দিসি নিজের সম্পত্তি মনে কইরেন না, আদর কইরা সংখাগুলা ধরেন )

2, 3, 5 আর 8 এর মাঝে-
প্রথম আর চতুর্থ সংখ্যার যোগফল= 2+8=10
দ্বিতীয় আর তৃতীয় সংখ্যার যোগফল= 3+5=8
বিয়োগফল= 10-8=2
দেখেন দেখেন যে চারটা সংখ্যা আপনাকে দিসিলাম ওইগুলার মধ্যে প্রথমটা পেয়ে গেছেন।

আবার প্রথম আর চতুর্থ সংখ্যার গুণফল= 2x8=16
দ্বিতীয় আর তৃতীয় সংখ্যার গুণফল= 3x5=15
এইবার আসেন আরেকটা বিয়োগ মারি 16-15=1. কি পাইলাম?? 1 পাইলাম তো? এইবার একটু কষ্ট করে 8,13,21,34 এর জন্য হিসাব করে দেখেন তো -1 পান কিনা?

এখন আসেন একটু বাঁদরামি করি।

দুই বা ততোধিক অংক বিশিষ্ট ফিবোনাচ্চি সিরিজের last অংকগুলা নেই। সংখ্যাগুলো তাহলে দাঁড়ায়- 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765
লাস্ট ডিজিটগুলো হল- 3,1,4,5,9,4,3,7,0,7,7,4,1,5 খুব খিয়াল করেন!!! দেখেন এরাও ফিবোনাচ্চি সিক্যুয়েন্সে আছে। শুধু পার্থক্য একটাই যখনি যোগফল দুই বা ততোধিক ডিজিটের হয়ে যাচ্ছে তখন শুধুমাত্র শেষের ডিজিটটা আসছে।
ফিবোনাচ্চি সিরিজের প্রতি ৬০টি সংখ্যার পর এই ডিজিটগুলো আবার রিপিট করে। যেমন: ফিবোনাচ্চি সিরিজের ৬০ তম সংখ্যা= 1548008755920, ৬১ তম সংখ্যা= 2504781961, ৬২ তম সংখ্যা= 4052739537881, ৬৩ তম সংখ্যা= 6557470319842, ৬৪ তম সংখ্যা= 10610209857723, ৬৫ তম সংখ্যা= 17167680177565.
মজার ব্যাপার হল একইভাবে ফিবোনাচ্চি সিরিজের প্রতিটি সংখ্যার শেষ দুই ডিজিট, শেষ তিন ডিজিট ,চার ডিজিট এরকম করে সব ডিজিটের এর মাঝেই ফিবোনাচ্চি সংখ্যার বৈশিষ্ট্যগুলো খুঁজে পাওয়া যায়।

এইবার ভাগ করুমঃ

ফিবোনাচ্চি সিরিজের পরপর দুইটি সংখ্যা ভাগ করে দেখি তো কি হয়-
2/1=2, 3/2=1.5, 5/3=1.665, 8/5=1.6, 13/8=1.625, 21/13=1.615

অর্থাৎ প্রথম দুটি ভাগফল বাদ দিলে বাকি ভাগফলগুলোর মান প্রায় সমান বা ধ্রুবক। এই ধ্রুবক সংখ্যাটি "সোনালী অনুপাত" বা "স্বর্গীয় অনুপাত", ইংরেজিতে "Golden Ratio" নামে পরিচিত। সোনালী অনুপাত বা স্বর্গীয় অনুপাত গ্রিক অক্ষর 'ফাই' (φ) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এর মান 1.618033989(প্রায়)। একে স্বর্গীয় অনুপাত বলার কারণ হল মানবদেহের কয়েকটি অংশের অনুপাতের সাথে এর মিলে যাওয়া।যেমনঃ
• মানুষের বাহু এর সাথে হাত এর অনুপাতের মান হল 1.618
• মানুষেরমুখের দৈর্ঘ্যের সাথে নাকের প্রস্থের অনুপাত 1.618
• মানুষের আঙ্গুলের অগ্রভাগ থেকে কনুই এর দৈর্ঘ্য এবং কবজি থেকে কনুই এর দৈর্ঘ্যের অনুপাত 1.618
এই golden ratio এর উদাহরণ আমরা একটু চোখ মুখ খোলা রাখলেই আমাদের চারপাশে দেখতে পারবো। golden ratio এর সাহিত্যিক কিছু উদাহরণ- ড্যান ব্রাউন এর “দ্য ভিঞ্চি কোড”, হুমায়ুন আহমেদ এর “শুন্য”।

এছাড়া ফটোগ্রাফি তে golden ratio এর value আর নাই বলি। ফটোগ্রাফি তে কোথায় কিভাবে golden ratio apply করবেন তার কিছু উদাহরণ পাবেন নিচের লিঙ্কগুলোতে-

1. https://www.youtube.com/watch?v=oL0wpOXX5-k
2. https://www.youtube.com/watch?v=DnhH9jVTVms

এছারাও বিভিন্ন বাণিজ্যিক কোম্পানির লোগোগুলোতে আমরা golden ratio এর ব্যবহার দেখতে পাই। apple এর লোগো golden ratio দিয়ে খুব সুন্দর করে ব্যাখ্যা করা যায়-
Click This Link

golden ratio আর ফিবোনাচ্চি সিরিজ নিয়ে ইউটিউবে অনেক প্রফেসরের লেকচার পাওয়া যায়। আগ্রহ মিটানোর জন্য দেখতে পারেন-
1. http://www.youtube.com/watch?v=1XSqcAq0A9k
2. http://www.youtube.com/watch?v=4oyyXC5IzEE

গোল্ডেন রেসিও নিয়ে ফেসবুকে আপ্লোডায়িত একটি ফটো অ্যালবাম নিচের লিঙ্ক এঃ

গোল্ডেন রেসিও