পারফেক্ট নাম্বার
Perfect Number

সেই সমস্ত সংখ্যাকে Perfect number বলা হয়, যখন সেই সংখ্যার সকল factor (সংখ্যা অপেক্ষা ছোটো) গুলির সমস্টি সেই সংখ্যাটির সমান হয়।
যেমন ৬ একটি Perfect number, কারণঃ ৬ = ১+২+৩।
এমনি ভাবে আরো কিছু Perfect number এর উদাহরন হচ্ছে
২৮ = ১+২+৪+৭+১৪
৪৯৬ = ১+২+৪+৮+১৬+৩১+৬২+১২৪+২৪৮
৮১২৮ = ১+২+৪+৮+১৬+৩২+৬৪+১২৭+২৫৪+৫০৮+১০১৬+২০৩২+৪০৬৪।
৩৩৫৫০৩৩৬ = ১+২+৪+৮+১৬+৩২+৬৪+১২৮+২৫৬+৫১২+১০২৪+২০৪৮+৪০৯৬+৮১৯১+১৬৩৮২+৩২৭৬৪+৬৫৫২৮+১৩১০৫৬+২৬২১১২+৫২৪২২৪+১০৪৮৪৪৮+২০৯৬৮৯৬+৪১৯৩৭৯২+৮৩৮৭৫৮৪+১৬৭৭৫১৬৮।
তাছাড়া ৮৫৮৯৮৬৯০৫৬, ১৩৭৪৩৮৬৯১৩২৮, ২৩০৫৮৪৩০০৮১৩৯৯৫২১২৮ এরাও Perfect number।

Perfect number খুঁজে বের করার একটি সূত্র রয়েছে। সূত্রটি ব্যবহার করে অনেকগুলি Perfect number খুব সহজেই বের করা যায়। সূত্রটি হচ্ছে ২^(p−১)×(২^p − ১) এখানে p হচ্ছে prime number. এবার আসুন দেখি সত্যি সত্যিই এই সূত্র ব্যবহার করে Perfect number পাওয়া যায় কিনা দেখি।
p = ২: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(২−১)×(২^২ − ১) = ২×৩ = ৬
p = ৩: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(৩−১)×(২^৩ − ১) = ৩×৭ = ২৮
p = ৫: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(৫−১)×(২^৫ − ১) = ১৬×৩১ = ৪৯৬
p = ৭: ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(৭−১)×(২^৭ − ১) = ৬৪×১২৭ = ৮১২৮

তাহলে কি প্রতিটি prime number-ই p এর স্থানে বসালে একটি করে Perfect number পাওয়া যাবে?
না, পাওয়া যাবে না। তবে যে সমস্ত prime number ব্যাবহার করে Perfect number পাওয়া যাবে তাদের একটি লিস্ট এখানে দেখাতে পারি।
p = ২, ৩, ৫, ৭, ১৩, ১৭, ১৯, ৩১, ৬১, ৮৯, ১০৭, ১২৭, ৫২১, ৬০৭, ১২৭৯, ২২০৩, ২২৮১, ৩২১৭, ৪২৫৩, ৪৪২৩, ৯৬৮৯, ৯৯৪‌, ১১২১৩, ১৯৯৩৭, ২১৭০১, ২৩২০৯, ৪৪৪৯৭, ৮৬২৪৩, ১১০৫০৩, ১৩২০৪৯, ২১৬০৯১, ৭৫৬৮৩৯, ৮৫৯৪৩৩, ১২৫৭৭৮৭, ১৩৯৮২৬৯, ২৯৭৬২২১, ৩০২১৩৭৭, ৬৯৭২৫৯৩, ১৩৪৬৬৯১৭, ২০৯৯৬০১১, ২৪০৩৬৫৮৩, ২৫৯৬৪৯৫১, ৩০৪০২৪৫৭, ৩২৫৮২৬৫৭, ৩৭১৫৬৬৬৭, ৪২৬৪৩৮০১, ৪৩১১২৬০৯ ইত্যাদি।

মজার বিষয় হচ্ছে প্রতিটি Perfect number-ই এক একটি ট্রায়াঙ্গুলার নাম্বার (Triangular Number)

যেমনঃ ৬ = ১+২+৩।
২৮ = ১+২+৩+৪+৫+৬+৭।
৪৯৬ = ১+২+৩+...............+২৯+৩০+৩১।
৮১২৮ = ১+২+৩+...............+১২৬+১২৬+১২৭।

Perfect number-এর আরো একটি মজা রয়েছে। চাইলে (প্রথমটি ছাড়া) প্রতিটি Perfect number-কে শুধুমাত্র ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার কিউবের সমস্টি হিসেবে দেখানো যায়। যেমন
২৮ = ১^৩+৩^৩
৪৯৬ = ১^৩+৩^৩+৫^৩+৭^৩
৮১২৮ = ১^৩+৩^৩+৫^৩+৭^৩+৯^৩+১১^৩+১৩^৩+১৫^৩

কতোটি বিজোড় ক্রমিক সংখ্যার কিউবের সমস্টি একটি Perfect number-হবে তা জানার জন্য আমরা একটি সূত্র ব্যবহার করতে পারি। সূত্রটি হচ্ছে ২^(p−১)/২। এখানে P এর মান উপরের Perfect number বের করার যে সূত্র {২^(p−১)×(২^p − ১)} করেছি সেখানকার P এর মানের সমান। অর্থাৎ যখন সূত্র ব্যবহার করে ২৮কে বের করেছি তখন P এর মান ছিলো ৩। তাই ২৮ এর জন্য ২^(p−১)/২ = ২^(৩−১)/২ = ২^২/২ = ২^১ = ২। সুতরাং ২৮ বের করতে হলে ২টি বিজোড় ক্রমিক সংখ্যার কিউবের সমস্টি করতে হবে। বাকি গুলিও এবাবেই বের করা সম্ভব হবে।

আজ এখানেই শেষ করছি, সকল প্রকারের ভুলের জন্য ক্ষমা চেয়ে নিচ্ছি। গুণীজন নিজ গুণেই আমার ভুলগুলি ক্ষমাসুন্দর দৃষ্টিতে দেখবেন এ আশাই রইলো। ধন্যবাদ, ভালো থাকবেন সকলে।
সূত্রঃ
১
২
৩
৪
======================================================
আমার লিখা আরো কিছু মজার গণিতঃ
আশ্চর্য! একটি সংখ্যা ৬৬৬......
আশ্চর্য একটি সংখ্যা ১৪২৮৫৭
আশ্চর্য সংখ্যা Shliced Number
“১৫৩” একটি অবাক করা সংখ্যা
দুর্গা ধ্রুবক
সংখ্যা রঙ্গ সমগ্র
সংখ্যা রঙ্গ সমগ্র ২
"আশ্চর্য কিছু ক্রমিক সংখ্যা"
আশ্চর্য একটি সংখ্যা 076923
রামানুজন সংখ্যা ১৭২৯
১ ২ ৩ ৪ ৫ ৬ ৭ ৮ ৯ = ১০০