"আশ্চর্য কিছু ক্রমিক সংখ্যা"

সংখ্যার মাঝে লুকিয়ে আছে নানন ধরনের মজা। কখনো এই সমস্ত মজা আমাদের চোখে পরে আবার কখনো চোখে পরে না। তেমনই একটি সংখ্যার মজা আজ আবার এখানে উপস্থাপন করতে যাচ্ছি।
চলুন আমাদের পরিচিত সংখ্যাগুলির মাঝ থেকে এমন কিছু ক্রমিক সংখ্যা খুঁজে বের করি যাদের নিচের উল্লেখিত বৈশিষ্ট রয়েছে।
দুটি ক্রমিক সংখ্যা নিই-১৪ ও ১৫। এবার
১৪ = (২ × ৭) প্রতিটি অংক যোগ করলে (১+৪) + (২+৭) = ১৪।
১৫ = (৩ × ৫) প্রতিটি অংক যোগ করলে (১+৫) + (৩+৫) = ১৪।

আরেকটি উদাহরণ দেখুন ৪৩ ও ৪৪ এর জন্য
যেহেতু ৪৩ একটি প্রাইম বা মৌলিক সংখ্যা তাই এই ক্ষেত্রে হবে...
৪৩ = ৪৩ প্রতিটি অংক যোগ করলে (৪+৩) + (৪+৩) = ১৪।
৪৪ = (২ × ২ × ১১) প্রতিটি অংক যোগ করলে (৪+৪) + (২+২+১+১) = ১৪।

প্রথম উদাহরণ থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি ১৪-এর সর্বশেষ যোগ ফল হয়েছে ১৪ আবার ১৫-এরও সর্বশেষ যোগ ফল হয়েছে ১৪। অন্য দিকে দ্বিতীয় উদাহরণেও আমরা দেখছি যে ৪৩-এর সর্বশেষ যোগ ফল হয়েছে ১৪, তেমনি ভাবে ৪৪-এর সর্বশেষ যোগ ফলও হয়েছে ১৪।

তাহলে কি সকল এই ধরনের এমিক জোড়া সংখ্যার সর্বশেষ যোগ ফল ১৪ই হবে! না তা হবে না। যেমন আমরা যদি ৫০ ও ৫১ কে নিই তাহলে দেখা যাবে....
৫০ = (২ × ৫ × ৫) প্রতিটি অংক যোগ করলে (৫+০) + (২+৫+৫) = ১৭।
৫১ = (৩ × ১৭) প্রতিটি অংক যোগ করলে (৫+১) + (৩+১+৭) = ১৭।
এক্ষেত্রে দুটি সংখ্যারই সর্বশেষ যোগ ফল ১৪ না হয়ে-হয়েছে ১৭।

এখানে উল্লেখ্য যে, প্রতিটি ক্রমিক সংখ্যার যে গুন গুলি করা হয়েছে তার প্রতিটি সংখ্যাই কিন্তু প্রাইম বা মৌলিক সংখ্যা। যেমন উপরের উদাহরণের ৫১ = (৩ × ১৭)। এখানে ৩ ও ১৭ দুটিই মৌলিক সংখ্যা।

এখন প্রশ্ন জাগতে পারে - সমস্ত ক্রমিক সংখ্যারই সর্বশেষ যোগফল কি এভাবে মিলে যাবে? এর উত্তর হবে- না। সব ক্রমিক সংখ্যাই এভাবে মিলে যাবে না। অল্প কিছু সংখ্যাই এভাবে মিলে যাবে। আর যে সমস্ত ক্রমিক সংখ্যার সর্বশেষ যোগ ফল এভাবে সমান হিসেবে দেখানো যায় তাদেরকেই বলে Maris-McGwire-Sosa pair Number, সংক্ষেপে এদেরকে বলা হয় MMS সংখ্যা। এক হাজারের নিচে যে সমস্ত MMS সংখ্যা রয়েছে তারা হচ্ছে-
৭-৮, ১৪-১৫, ৩-৪৪, ৫০-৫১, ৬১-৬২, ৬৩-৬৪, ৬৭-৬৮, ৮০-৮১, ৮৪-৮৫, ১১৮-১১৯, ১২২-১২৩, ১৩৪-১৩৫, ১৩৭-১৩৮, ১৬৩-১৬৪, ১৯৬-১৯৭, ২১২-২১৩-২১৪, ২২৪-২২৫, ২৪১-২৪২, ২৭৩-২৭৪-২৭৫, ২৭৭-২৭৮, ২৭৯-২৮০, ২৮৩-২৮৪, ৩৫১-৩৫২-১৫৩, ৩৭৩-৩৭৪, ৩৭৫-৩৭৬, ৩৯০-৩৯১, ৩৯৮-৩৯৯, ৪২১-৪২২, ৪৫৭-৪৫৮, ৪৬২-৪৬৩, ৪৭৪-৪৭৫-৪৭৬, ৪৮৯-৪৯০, ৪৯৫-৪৯৬, ৫১০-৫১১, ৫১৬-৫১৭, ৫২৩-৫২৪, ৫২৬-৫২৭, ৫৩৭-৫৩৮, ৫৪৭-৫৪৮, ৫৫৫-৫৫৬, ৫৫৮-৫৫৯, ৫৭৭৫৭৮, ৫৮৪-৫৮৫, ৫৯০-৫৯১, ৫৯২-৫৯৩, ৬১৬-৬১৭, ৬৩৮-৬৩৯, ৬৪৪-৬৪৫, ৬৬০-৬৬১, ৬৭৩-৬৭৪, ৬৮৭-৬৮৮, ৬৯১-৬৯২, ৭৩১-৭৩২-৭৩৩, ৭৪৩-৭৪৪, ৭৫৬-৭৫৭, ৭৭৪-৭৭৫, ৭৮৭-৭৮৮, ৭৯৭-৭৯৮, ৮৬০-৮৬১, ৮৭১-৮৭২, ৮৭৮-৮৭৯, ৮৯৫-৮৯৬, ৯০৭-৯০৮, ৯২২-৯২৩, ৯২৮-৯২৯, ৯৪৪-৯৪৫, ৯৪৯-৯৫০, ৯৫৩-৯৫৪, ৯৬৫-৯৬৬, ৯৮৫-৯৮৬, ৯৯৭-৯৯৮।

এতো গেলো জোড়া ক্রমিক সংখ্যার কথা, কিন্তু তিনটি ক্রমিক সংখ্যার বেলায় কি এই রকমের কোনো উদাহরণ আছে? আমার জানা সবচেয়ে ছোটো এমন একটি উদাহরণ হচ্ছে ২১২, ২১৩ ও ২১৪। দেখা যাক.....
২১২ = (২ × ২ × ৫৩) প্রতিটি অংক যোগ করলে (২+১+২) + (২+২+৫+৩) = ১৭।
২১৩ = (৩ × ৭১) প্রতিটি অংক যোগ করলে (২+১+৩) + (৩+৭+১) = ১৭।
২১৪ = (২ × ১০৭) প্রতিটি অংক যোগ করলে (২+১+৪) + (২+১+০+৭) = ১৭।
এধরনের সংখ্যার এর চেয়ে ছোটো কোনো উদাহরণ আপনি খুঁজে পাবেন না। তাই খুঁজতে হলে এর যেয়ে বড় সংখ্যার খুঁজুন।

যেমন আমি আর একটি খুঁজে পেয়েছি
২৭৩ = (৩ × ৭ × ১৩) প্রতিটি অংক যোগ করলে (২+৭+৩) + (৩+৭+১+৩) = ২৬।
২৭৪ = (২ × ১৩৭) প্রতিটি অংক যোগ করলে (২+৭+৪) + (২+১+৩+৭) = ২৬।
২৭৫ = (৫ × ৫ × ১১) প্রতিটি অংক যোগ করলে (২+৭+৫) + (৫+৫+১+১) = ২৬।
এক হাজারের নিচে এরকম MMS সংখ্যা আমি খুঁজে পেয়েছি ৫টি।
২১২-২১৩-২১৪, ২৭৩-২৭৪-২৭৫, ৩৫১-৩৫২-১৫৩, ৪৭৪-৪৭৫-৪৭৬, ৭৩১-৭৩২-৭৩৩।
এখানেই শেষ নয়, আমি যেমন উপরে দুটি ও তিনটি ক্রমিক সংখ্যার উদাহরণ দেখিয়েছি , এমনি ভাবেই এই উদাহরণ ইচ্ছে করলে ৯টি ক্রমিক সংখ্যা পর্যন্ত দেখানো সম্ভব। নিচে একটি চার্ট দিচ্ছি.......

২টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ১৪-১৫।
৩টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ২১২-২১৩-২১৪।
৪টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ৮১২৬- ৮১২৭- ৮১২৮- ৮১২৯।
৫টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ২৪১৯৯৫-২৪১৯৯৬-২৪১৯৯৭-২৪১৯৯৮-২৪১৯৯৯।
৬টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ৩৫৩৯৯৯০-৩৫৩৯৯৯১-৩৫৩৯৯৯২-৩৫৩৯৯৯৩-৩৫৩৯৯৯৪-৩৫৩৯৯৯৫।
৭টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ১৩৩০৮২০-১৩৩০৮২১-১৩৩০৮২২-১৩৩০৮২৩-১৩৩০৮২৪-১৩৩০৮২৫-১৩৩০৮২৬।
৮টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ১২২২২৫৩৩৪৯৩-১২২২২৫৩৩৪৯৪-১২২২২৫৩৩৪৯৫-১২২২২৫৩৩৪৯৬-১২২২২৫৩৩৪৯৭-১২২২২৫৩৩৪৯৮-১২২২২৫৩৩৪৯৯-১২২২২৫৩৩৫০০।
৯টি ক্রমিক সংখ্যাঃ ৩২৪৯৮৮০৮৭০-৩২৪৯৮৮০৮৭১-৩২৪৯৮৮০৮৭২-৩২৪৯৮৮০৮৭৩-৩২৪৯৮৮০৮৭৪-৩২৪৯৮৮০৮৭৫-৩২৪৯৮৮০৮৭৬-৩২৪৯৮৮০৮৭৭-৩২৪৯৮৮০৮৭৮।


এখানেই নতুন করে আর কিচ্ছু বলার নেই, তবুও আর মাত্র একটি উদাহরণ দিতে চাই, আমার দেখা বিশাল একটি MMS সংখ্যার।
১২৩৪৫৬৭৮৯০১২৩৪৫৬৭৮৯০১২৩৪৫৬ = (২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ১৭ × ৭১ × ২১৮১০৭ × ২৪৪২৫১২৯৪৫৬৪১৫৭) প্রতিটি অংক যোগ করলে (২+৩+৪+৫+৬+৭+৮+৯+০+১+২+৩+৪+৫+৬+৭+৮+৯+০+১+২+৩+৪+৫+৬) + (২+২+২+২+২+২+৩+১+৭+৭+১+২+১+৮+১+০+৭+২+৪+৪+২+৫+১+২+৯+৪+৫+৬+৪+১+৫+৭) = ২২২।
১২৩৪৫৬৭৮৯০১২৩৪৫৬৭৮৯০১২৩৪৫৭ = (২১১ × ১৫৮৮৭ × ৩৬৮২৯০৫৯৩২২৮০১৯০৯০১) প্রতিটি অংক যোগ করলে (১+২+৩+৪+৫+৬+৭+৮+৯+০+১+২+৩+৪+৫+৬+৭+৮+৯+০+১+২+৩+৪+৫+৭) + (২+১+১+১+৫+৮+৮+৭+৩+৬+৮+২+৯+০+৫+৯+৩+২+২+৮+০+১+৯+০+৯+০+১) = ২২২।

(সকল প্রকারের ভুলের জন্য ক্ষমা চেয়ে নিচ্ছি। গুণীজন নিজ গুণেই আমার ভুলগুলি ক্ষমাসুন্দর দৃষ্টিতে দেখবেন এ আশাই রইলো। ধন্যবাদ, ভালো থাকবেন সকলে।)
আমার লিখা আরো কিছু মজার গাণিতিক পোস্ট-
আশ্চর্য! একটি সংখ্যা ৬৬৬......
আশ্চর্য একটি সংখ্যা ১৪২৮৫৭
আশ্চর্য সংখ্যা Shliced Number
“১৫৩” একটি অবাক করা সংখ্যা
দুর্গা ধ্রুবক
সংখ্যা রঙ্গ সমগ্র
সংখ্যা রঙ্গ সমগ্র ২


সুত্রঃ উইকি